Levy 过程
Levy 过程具有平稳独立增量和概率意义上的连续路径，它将布朗运动、泊松过程及其组合统一为一个包含跳跃的单一族。
用 PaperMind 寻找选题即将推出Find papers & topics
Tools & resources
Learn & explore
视频即将推出
Definition
Levy 过程是一种从零开始的随机过程，具有平稳独立的增量，并且在概率意义上是连续的，因此它在任何区间上的增量都具有无限可分分布，其特征指数由 Levy-Khintchine 公式给出。
Scope
本主题涵盖通过平稳独立增量定义 Levy 过程、它们与无限可分分布的对应关系、将过程分解为漂移、高斯和跳跃部分的 Levy-Khintchine 公式、样本路径的 Levy-Ito 分解、次序器和稳定过程，以及带跳跃过程的随机微积分和应用。
Core questions
- Levy 过程的定义是什么？它如何与无限可分分布联系起来？
- Levy-Khintchine 公式如何编码漂移、扩散和跳跃？
- Levy-Ito 分解如何描述样本路径？
- 有哪些特殊的 Levy 过程，例如次序器和稳定过程？
Key theories
- Levy-Khintchine 公式
- Levy 过程在任何时刻的特征函数是特征指数的指数形式，该指数包含线性漂移、高斯方差以及针对控制跳跃的 Levy 测度的积分，从而提供了对该定律的完整描述。
- Levy-Ito 分解
- 每个 Levy 过程都分解为确定性漂移、独立的布朗运动和由跳跃的泊松随机测度构建的独立纯跳跃部分，从而分离了其路径的连续和不连续分量。
Clinical relevance
Levy 过程模拟了具有突然跳跃的资产收益、保险风险准备金、物理学中的反常扩散以及具有突发性的排队输入，在稀有大波动至关重要的情况下，它提供了比纯高斯模型更真实的替代方案。
History
De Finetti 在 20 世纪 20 年代引入了无限可分分布，Levy 和 Khinchin 在 1934 年左右推导出了特征指数表示，Ito 将路径分解为连续和跳跃部分，完善了以他们名字命名的结构理论，自 20 世纪 90 年代以来，数学金融领域对其重新产生了兴趣。
Key figures
- Paul Levy
- Aleksandr Khinchin
- Kiyosi Ito
- Bruno de Finetti
Related topics
Seminal works
- bertoin1996
- sato1999
Frequently asked questions
- 是什么统一了布朗运动和泊松过程？
- 两者都是 Levy 过程，具有平稳独立增量；布朗运动是连续高斯情况，泊松过程是纯跳跃情况，而一般的 Levy 过程结合了漂移、扩散和跳跃。
- 什么是 Levy 测度？
- 它是 Levy-Khintchine 公式中的测度，它指定了过程跳跃的速率和大小，控制着每种幅度的跳跃发生的频率。