维纳过程

维纳过程是布朗运动的严格数学模型：一个从零开始的连续过程，其在不相交区间上的增量是独立的，并服从正态分布，方差等于经过的时间。

Definition

维纳过程是一个具有连续路径、从原点开始、具有独立增量的随机过程，其在任何区间上的增量都服从均值为零、方差等于区间长度的正态分布，提供了布朗运动的规范模型。

Scope

本主题涵盖了维纳过程的定义性质、其存在性和维纳的构造、其路径的连续性但处处不可微性、其等于经过时间的二次变差、强马尔可夫性质和反射原理、尺度和时间反演不变性，以及描述其精细波动的迭代对数律。

Core questions

• 哪些公理定义了维纳过程并保证了其存在性？
• 为什么它的路径是连续的但处处不可微？
• 它的二次变差是多少，为什么它等于经过的时间？
• 反射原理和强马尔可夫性质如何描述其行为？

Key theories

路径性质和二次变差

维纳过程的路径几乎必然是连续的，但处处不可微且总变差为无限大，但其在任何区间上的二次变差等于该区间的长度，这一性质使得随机积分成为可能。

强马尔可夫性质和反射原理

该过程在停时重新开始，并且在路径首次达到某个水平后进行反射，可以得到运行最大值和首次通过时间的分布，这是计算击中时间的强大工具。

Clinical relevance

维纳过程模拟微观粒子的热运动，在随机微分方程和资产价格的布莱克-斯科尔斯模型中作为驱动噪声，通过唐斯克不变原理作为随机游走的尺度极限出现，并构成了工程中信号加噪声模型的基础。

History

巴切利耶在1900年用该过程模拟股票价格，爱因斯坦在1905年给出了其物理理论，但直到1923年，维纳才证明了在连续函数空间上存在具有所需性质的概率测度，此后莱维等人绘制了其卓越的路径性质。

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

维纳过程与布朗运动相同吗？

是的；维纳过程是布朗运动的严格数学定义，以诺伯特·维纳的名字命名，他首次将其构造为连续路径上的测度。

路径如何能连续但处处不可微？

路径从不跳跃，因此它是连续的，但它在每个尺度上都剧烈振荡，以至于在任何一点都不存在切线方向，这就是为什么它的总变差是无限的。