非齐次和复合泊松过程

作为泊松过程的推广，非齐次泊松过程允许事件发生率随时间或空间变化，而复合泊松过程则为每个事件附加独立的随机大小。

Definition

非齐次泊松过程是一个具有独立增量的计数过程，其在某个区域内的计数服从泊松分布，均值由非恒定强度函数的积分给出；复合泊松过程是在泊松过程事件中发生的独立同分布随机跳跃的总和。

Scope

本主题涵盖由变化的强度函数和累积平均测度定义的非齐次泊松过程、将其映射到标准泊松过程的时间变换、通过对泊松事件时间处的独立标记求和形成的复合泊松过程、其均值、方差和特征函数，以及在保险风险和散粒噪声中的应用。

Core questions

• 变化的强度函数如何推广恒定速率过程？
• 非齐次过程如何通过时间变换转换为齐次过程？
• 复合泊松和的均值和方差如何计算？
• 这些过程如何模拟保险索赔和散粒噪声？

Key theories

时间变换到标准泊松过程

通过累积强度函数重新调整时间，将非齐次泊松过程转换为标准速率为一的泊松过程，这既表征了非齐次过程，又通过反演或稀疏提供了一种模拟方法。

复合泊松分布

泊松分布数量的独立跳跃之和的均值和方差可以通过跳跃分布来表达，其特征函数是速率乘以跳跃特征函数减一的指数，将其与无限可分律联系起来。

Clinical relevance

非齐次泊松过程模拟随时间变化的到达率，例如日常交通或季节性疾病发病率；而复合泊松过程是Cramer-Lundberg风险理论中总保险索赔以及物理学和信号处理中散粒噪声的经典模型。

History

Lundberg于1903年引入了复合泊松风险模型，Cramer在20世纪30年代发展了其破产理论；而非齐次泊松过程及其基于稀疏的模拟（由Lewis和Shedler于1979年正式化）成为建模时变事件率的标准工具。

Key figures

• Filip Lundberg
• Harald Cramer
• John Kingman

Seminal works

• kingman1993

Frequently asked questions

非齐次泊松过程和复合泊松过程有什么区别？

非齐次过程保持单位跳跃，但允许事件发生率随时间或空间变化，而复合过程保持泊松数量的事件，但为每个事件赋予随机大小。

复合泊松过程如何在保险中使用？

它将总索赔建模为泊松数量的独立索赔金额；由此产生的总额是经典破产理论的基础，该理论研究累积索赔超过准备金的概率。