伊藤微积分与随机积分

伊藤微积分将积分和微分扩展到由布朗运动驱动的过程，用伊藤公式取代了普通的链式法则，该公式包含一个来自二次变分的额外项。

Definition

伊藤积分是可预测过程对布朗运动的随机积分，其定义使其成为一个鞅，方差由伊藤等距给出，而伊藤公式是由此产生的变量变换规则，它增加了一个二阶导数项，反映了积分器的二次变分。

Scope

本主题涵盖了伊藤积分作为布朗运动的左端黎曼和极限的构造、伊藤等距、积分的鞅性质、扩散函数伊藤公式、多维和乘积法则、与Stratonovich积分的比较，以及区分随机积分和普通积分的二次变分微积分。

Core questions

• 伊藤积分是如何构造的，为什么必须使用左端点？
• 伊藤等距是什么，它如何控制积分的方差？
• 什么额外项使伊藤公式区别于普通链式法则？
• 伊藤积分与Stratonovich积分有何不同？

Key theories

伊藤积分与伊藤等距

通过左端点评估定义积分使其成为一个鞅，伊藤等距将期望的积分平方与被积函数平方的期望积分等同起来，赋予积分其L2结构和稳定性。

伊藤公式

对于扩散的光滑函数，伊藤公式将微分表示为通常的梯度项加上一个涉及二阶导数和二次变分的修正项，这个规则使得随机微积分具有计算性，并产生了布莱克-斯科尔斯方程。

Clinical relevance

伊藤微积分是数理金融的工作语言，伊藤公式在此推导出布莱克-斯科尔斯偏微分方程和对冲策略；它也是随机控制、滤波和物理学的工作语言，在这些领域中，系统被建模为由高斯白噪声驱动。

History

伊藤在1944年和1951年的论文中引入了随机积分和他的变量变换公式，以构建扩散过程；Stratonovich和Fisk后来提出了一个遵循普通链式法则的替代积分；通过McKean、Meyer等人的工作，随着理论的成熟，这两种表述得到了协调。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

为什么伊藤公式有一个额外项？

因为布朗运动具有非零的二次变分，泰勒展开式中的二阶项在极限情况下不会消失，从而增加了一个普通微积分中没有的二分之一乘以二阶导数的修正项。

伊藤积分和Stratonovich积分有什么区别？

伊藤积分在左端点评估被积函数，并且是一个鞅，而Stratonovich积分使用中点并遵循普通的链式法则；它们之间相差一个修正项，适用于不同的应用。