布朗运动与随机微积分

布朗运动是典型的连续时间随机过程，而基于其构建的伊藤微积分提供了沿着其锯齿状、处处不可微路径进行微分和积分的规则，是现代随机建模的语言。

Definition

布朗运动是一种具有独立平稳高斯增量的连续路径过程，而随机微积分是关于它和相关连续鞅的积分和微分理论，其核心是伊藤积分和伊藤公式。

Scope

该领域涵盖布朗运动的构造和路径性质、其鞅和马尔可夫特征、针对布朗运动和连续鞅的伊藤随机积分、作为随机微积分链式法则的伊藤公式、随机微分方程及其存在性和唯一性理论，以及通过费曼-卡茨公式与偏微分方程的联系。

Sub-topics

• 布朗运动
• 伊藤公式
• 伊藤积分
• 随机微分方程

Core questions

• 布朗运动是如何构造的，它有哪些显著的路径性质？
• 如何对路径具有无限变差的过程进行积分？
• 当积分器是布朗运动时，什么取代了普通的链式法则？
• 随机微分方程是如何定义和求解的？

Key theories

伊藤积分和伊藤公式

伊藤积分利用布朗运动的二次变差定义了对布朗运动的积分，而伊藤公式是由此产生的链式法则，它包含一个额外的二阶项，反映了二次变差随时间线性累积的特性。

随机微分方程和费曼-卡茨公式

由布朗运动驱动的随机微分方程在满足利普希茨条件和增长条件时具有唯一的强解，费曼-卡茨公式将相关抛物型偏微分方程的解表示为这些扩散过程的期望。

Clinical relevance

随机微积分是连续时间金融的数学基础，其中布莱克-斯科尔斯模型通过伊藤过程对期权进行定价；它也广泛应用于物理学，描述扩散和噪声；工程学，支撑滤波和随机控制；以及生物学，在随机性下模拟种群和神经动力学。

History

布朗运动由罗伯特·布朗观察，爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基对其进行了物理建模，诺伯特·维纳于1923年对其进行了严格构造。伊藤清于20世纪40年代创建了随机积分和伊藤公式，奠定了随机微积分的基础，后来随机微积分成为数学金融不可或缺的工具。

Key figures

• Norbert Wiener
• Kiyosi Ito
• Paul Levy
• Mark Kac

Seminal works

• karatzas1991
• revuz1999

Frequently asked questions

为什么普通微积分不能用于布朗运动？

布朗路径是连续但处处不可微的，并且具有无限变差，因此通常的黎曼-斯蒂尔杰斯积分和链式法则不适用；伊藤微积分用基于路径有限二次变差的构造取代了它们。

伊藤公式中的额外项是什么？

由于布朗运动的平方增量以确定的速率累积而不是消失，随机链式法则包含一个与经过时间成比例的二阶导数项，这在普通微积分中没有对应物。