布朗运动与随机微积分
布朗运动是一种连续随机过程，其增量是独立的且服从高斯分布；基于布朗运动建立的随机微积分提供了沿着其不规则路径进行积分和微分的规则。
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Definition
布朗运动是一种具有独立平稳高斯增量和连续但处处不可微路径的连续时间过程，而随机微积分是关于此类过程的积分和微分理论，其核心是伊藤积分和伊藤变量变换公式。
Scope
该领域涵盖维纳过程及其路径性质、伊藤随机积分和伊藤公式、随机微分方程和扩散过程、通过费曼-卡茨公式和福克-普朗克方程与偏微分方程的联系、吉尔萨诺夫测度变换，以及对带跳跃的Levy过程的扩展。
Sub-topics
Core questions
- 哪些性质表征了布朗运动并使其路径如此不规则？
- 尽管布朗运动具有无限变差，如何定义对其的积分？
- 伊藤公式是什么？它如何取代普通的链式法则？
- 随机微分方程和Levy过程如何扩展该框架？
Key theories
- 伊藤积分和伊藤公式
- 伊藤积分通过利用鞅性质和等于已逝时间的二次变差来定义对布朗运动的积分，而伊藤公式给出了一个变量变换规则，其中包含一个额外的二阶导数项，反映了这种变差。
- 扩散与偏微分方程的联系
- 随机微分方程的解是马尔可夫扩散，其转移密度解福克-普朗克方程和后向柯尔莫哥洛夫方程，而费曼-卡茨公式将抛物线方程的解表示为扩散路径上的期望。
Clinical relevance
布朗运动和随机微积分模拟粒子和热的扩散、布莱克-斯科尔斯期权定价理论中资产价格的随机波动、物理和工程系统中的噪声，以及噪声信号的滤波，使其在物理学、金融学和控制领域不可或缺。
History
布朗于1827年观察到花粉颗粒的不规则运动，爱因斯坦和斯莫卢霍夫斯基于1905年左右提出了其物理理论，巴切利耶早在1900年就将其应用于金融，维纳于1923年严格构建了它，伊藤在20世纪40年代创建了随机微积分，使其成为一种计算工具。
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- 为什么普通微积分不能用于布朗运动？
- 布朗路径具有无限总变差且处处不可微，因此普通积分和经典链式法则失效；伊藤随机微积分提供了替代方法，解释了二次变差。
- 伊藤公式是什么？
- 它是布朗运动或扩散函数的链式法则的随机模拟，包含一个涉及二阶导数的额外项，该项源于路径的非零二次变差。