随机微分方程

随机微分方程描述了一个系统在确定性漂移和布朗运动驱动的随机波动作用下的演化，定义了一个扩散过程。

Definition

随机微分方程将一个过程的微分指定为漂移系数乘以时间增量加上扩散系数乘以布朗增量，其解是一个扩散过程，其规律由相关的二阶微分算子控制。

Scope

本主题涵盖了将随机微分方程解释为伊藤积分方程、在Lipschitz和增长条件下强解的存在性和唯一性、强解和弱解的区别、扩散的生成元及其与Fokker-Planck方程和后向Kolmogorov方程的联系、Feynman-Kac定理和Girsanov定理，以及Euler-Maruyama和Milstein方法等数值方案。

Core questions

• 随机微分方程如何被解释为伊藤积分方程？
• 什么条件保证了解的存在性和唯一性？
• 扩散的生成元如何与偏微分方程联系起来？
• 如何以何种精度对解进行数值近似？

Key theories

强解的存在性和唯一性

在漂移和扩散系数满足Lipschitz连续性和线性增长的条件下，随机微分方程存在唯一的强解，它是一个连续的马尔可夫扩散，通过使用伊藤等距的Picard型迭代建立。

Feynman-Kac和生成元

扩散的无穷小生成元是一个二阶椭圆算子，其转移密度求解Fokker-Planck方程，Feynman-Kac公式将抛物型偏微分方程的解表示为扩散泛函的期望。

Clinical relevance

随机微分方程在金融领域模拟资产价格、利率和波动性，在物理、化学和生物系统中模拟噪声动力学，以及在具有环境随机性的种群和流行病模型中应用；而通过Euler-Maruyama及相关方案对其进行数值求解，则可以实现蒙特卡洛定价和模拟。

History

伊藤在1940年代引入随机微分方程，以构建其生成元为给定椭圆算子的扩散过程；Stroock和Varadhan在1960年代和1970年代通过鞅问题重新构建了该主题；Kloeden和Platen在1990年代系统化了这些方程的数值分析。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Daniel Stroock
• Srinivasa Varadhan

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

随机微分方程描述了什么？

它描述了一个在可预测漂移和布朗运动随机冲击下运动的过程，产生一个扩散，其概率分布根据相关的偏微分方程演化。

强解和弱解有什么区别？

强解是建立在给定的布朗运动和滤子上的，而弱解只要求存在某个布朗运动和具有规定规律的过程；当强解不存在时，弱解可能存在。