伊藤积分

伊藤积分使得对布朗运动进行随机过程积分变得有意义，这是一项普通微积分无法处理的任务，因为布朗路径具有无限变差。伊藤积分通过利用其有限二次变差和巧妙选择评估点来解决此问题。

Definition

可预测过程对布朗运动的伊藤积分是近似和的均方极限，这些近似和在每个子区间的左端点评估被积函数，首先为简单被积函数定义，并通过伊藤等距性进行扩展。

Scope

本主题涵盖了伊藤积分的构建，首先针对简单的可预测被积函数，然后通过伊藤等距性扩展到平方可积函数，再扩展到连续局部鞅，积分的鞅性质及其二次变差，伊藤约定与斯特拉托诺维奇约定之间的对比，以及可预测性和非预见性选择左端点的重要性。

Core questions

• 为什么对布朗运动的积分需要新的定义？
• 伊藤等距性如何使构造得以实现？
• 为什么被积函数必须在左端点进行评估，可预测性确保了什么？
• 伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分有何不同？

Key concepts

• 可预测被积函数
• 伊藤等距性
• 二次变差
• 鞅性质
• 伊藤与斯特拉托诺维奇

Key theories

伊藤等距性与构造

对于平方可积的可预测被积函数，伊藤积分的均方等于被积函数平方的期望时间积分，这种等距性使得积分可以为简单过程定义，并通过完备性扩展到一大类被积函数。

积分的鞅性质

适当的可预测过程对布朗运动的伊藤积分本身是一个连续鞅，其二次变差由被积函数平方的时间积分给出，这使得左端点、非预见性约定成为自然的选择。

Clinical relevance

伊藤积分是数学金融中代表连续再平衡交易策略收益的数学对象，是物理和生物系统模型中噪声累积效应的体现，也是随机滤波中的创新项；其鞅性质是无套利定价的分析基础。

History

清原伊东在20世纪40年代定义了随机积分，以赋予由布朗运动驱动的微分方程以意义。后来，斯特拉托诺维奇引入了一种具有普通链式法则行为的替代约定；伊藤的构造及其鞅性质成为概率论和金融领域的标准。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

为什么被积函数在左端点进行评估？

使用左端点可以使被积函数保持非预见性，因此它不能预知布朗运动的未来增量；这使得所得积分成为鞅，并反映了策略和控制的因果性质。

伊藤积分与斯特拉托诺维奇积分有何不同？

斯特拉托诺维奇积分在中间点评估被积函数并遵循普通链式法则，但它不是鞅；而伊藤积分使用左端点，是鞅，并遵循修正的伊藤链式法则；两者之间的差异在于一个涉及二次变差的修正项。