伊藤公式
伊藤公式是随机微积分的链式法则：当一个光滑函数应用于伊藤过程时，其微分不仅包含通常的一阶项，还包含一个由二次变差驱动的额外二阶项。
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Definition
伊藤公式将伊藤过程的光滑函数的随机微分表示为普通链式法则项与一个涉及二阶导数和过程二次变差的附加项之和。
Scope
本主题涵盖了伊藤公式在布朗运动函数和一般伊藤过程中的表述，包含交叉变差项的多维版本，连续半鞅的公式，以及其主要推论，包括分部积分、布莱克-斯科尔斯方程的推导、费曼-卡茨表示和吉尔萨诺夫测度变换定理。
Core questions
- 为什么随机链式法则包含一个普通微积分中没有的二阶项？
- 伊藤公式如何扩展到多个过程和一般半鞅？
- 它如何导致控制扩散的偏微分方程？
- 吉尔萨诺夫定理等测度变换结果如何从它推导出来？
Key concepts
- 随机链式法则
- 二次变差修正
- 分部积分
- 费曼-卡茨公式
- 吉尔萨诺夫定理
Key theories
- 伊藤公式
- 对于伊藤过程的二次可微函数，其微分等于一阶导数乘以过程微分，加上二分之一的二阶导数乘以二次变差，修正项的产生是因为布朗增量的平方以确定的速率累积。
- 费曼-卡茨和吉尔萨诺夫推论
- 应用伊藤公式可以得到抛物线偏微分方程解的费曼-卡茨表示，即作为扩散过程的期望，以及吉尔萨诺夫定理，该定理描述了布朗运动在等价概率测度变换下的变化方式。
Clinical relevance
伊藤公式是随机建模的计算核心：它在金融领域产生了布莱克-斯科尔斯偏微分方程和期权定价公式，推导了随机滤波和控制的方程，并通过费曼-卡茨表示将扩散过程与物理学的偏微分方程联系起来。
History
伊藤在20世纪40年代证明了他的公式，作为新随机微积分的基石；卡茨早期的路径积分思想与它结合，形成了费曼-卡茨公式；吉尔萨诺夫1960年的测度变换定理，通过相同的微积分推导出来，成为滤波和金融领域不可或缺的工具。
Key figures
- Kiyosi Ito
- Mark Kac
- Igor Girsanov
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- 为什么伊藤公式比普通链式法则多一个额外项？
- 因为布朗运动的平方增量在极限情况下不会消失，而是与时间成比例地累积，因此一个二阶泰勒项得以保留并贡献了特征性的二分之一二阶导数项。
- 伊藤公式在金融领域有什么用途？
- 将其应用于作为标的伊藤过程函数的衍生品折现价格，可以得到布莱克-斯科尔斯偏微分方程，从而获得期权价格和对冲策略。