鞅与随机积分
连续时间鞅及其二次变差和分解为可预测部分与鞅部分，是构建随机积分的积分器。
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Definition
在连续时间中，鞅是一个条件期望增量为零的过程；其二次变差衡量累积波动，Doob-Meyer分解将次鞅分解为可预测的递增部分和鞅部分，这些结构定义了针对半鞅的随机积分。
Scope
本主题涵盖连续时间鞅和局部鞅、次鞅的Doob-Meyer分解、二次变差和方括号过程、作为最大自然积分器类别的半鞅、针对鞅构建随机积分，以及将布朗鞅表示为随机积分的鞅表示定理。
Core questions
- 连续时间鞅和局部鞅如何推广离散情况？
- 什么是二次变差？为什么它对随机积分至关重要？
- Doob-Meyer分解如何识别过程的鞅部分？
- 为什么半鞅是自然的积分器类别，鞅表示提供了什么？
Key theories
- Doob-Meyer分解和二次变差
- 次鞅唯一地分解为一个局部鞅加上一个可预测的递增过程，连续局部鞅的二次变差是可预测过程，其减去后使其平方成为鞅，为随机积分提供方差度量。
- 随机积分和鞅表示
- 可预测过程对平方可积鞅的随机积分本身是一个具有可计算二次变差的鞅，鞅表示定理表明每个布朗鞅都是这样的积分，这是金融对冲的基础。
Clinical relevance
基于鞅的随机积分是伊藤积分和随机微分方程、滤波理论以及数理金融中无套利定价和对冲的数学基础，其中鞅表示定理为衍生证券提供了复制策略。
History
Doob在1962年提出了Meyer证明的分解猜想，由Meyer领导的斯特拉斯堡学派在1960年代和1970年代发展了半鞅和随机积分的普遍理论，Kunita和Watanabe关于平方可积鞅的工作统一了针对一般鞅积分器的积分。
Key figures
- Joseph Doob
- Paul-Andre Meyer
- Kiyosi Ito
- Hiroshi Kunita
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Seminal works
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- 为什么针对鞅而不是普通函数进行积分？
- 鞅路径过于不规则，无法以普通方式积分，但其受控波动（通过二次变差衡量）允许进行概率积分，该积分本身是一个鞅，并构成了随机微积分的基础。
- 什么是二次变差？
- 它是过程在更细划分上平方增量之和的极限；对于鞅路径，它通常是非零的，并作为随机积分的自然方差时钟。