通俗地说，什么是鞅？

它是一个公平博弈的模型：给定目前为止发生的一切，你预期的下一个位置等于你当前的位置，因此平均而言你既不赢也不输。

为什么鞅在概率论中如此重要？

它们的收敛和停时定理为几乎必然极限和期望提供了简洁的工具，并且它们是随机微积分和金融中无套利定价的基础。

鞅是模拟公平博弈的过程，其中，在给定所有过去信息的情况下，对下一个值的最佳预测就是当前值，没有系统性的向上或向下漂移。

用 PaperMind 寻找选题即将推出Find papers & topics

Tools & resources

Learn & explore

视频即将推出

鞅是适应于某个滤子的可积随机变量序列或族，其未来任一值在给定当前信息下的条件期望等于当前值，从而形式化了公平博弈并推广了独立零均值增量的和。

该领域涵盖了滤子、适应过程和条件期望，鞅、次鞅和上鞅的定义，停时和可选停时定理，杜布最大不等式和上跨不等式以及鞅收敛定理，杜布分解，以及鞅在随机积分和极限定理中的作用。

鞅收敛定理: 在适当意义下有界的鞅几乎必然收敛，而一致可积的鞅既几乎必然收敛又依均值收敛到一个闭合它的极限随机变量，这为几乎必然极限提供了一个强大的工具。
可选停时定理: 在适当条件下，一个停止的鞅具有与其起始值相同的期望，因此在没有预见的情况下选择随机时间停止公平博弈不会改变其预期结果，这一结果在赌博、随机游走和金融领域有广泛应用。

鞅理论为数理金融中的无套利定价、统计学中的序贯分析和集中不等式，以及整个概率论中的收敛性论证提供了概念基础，并且是定义布朗运动和半鞅随机积分的自然框架。

“鞅”一词通过维尔1939年关于集体的著作进入概率论，杜布在20世纪40年代和50年代发展了鞅、停时和收敛的系统理论，最终在其1953年的专著中使鞅成为现代概率论的核心工具。