ब्राउनियन गति और स्टोकेस्टिक कैलकुलस
ब्राउनियन गति विहित सतत-समय यादृच्छिक प्रक्रिया है, और इस पर निर्मित इटो कैलकुलस इसके दांतेदार, कहीं भी अवकलनीय न होने वाले पथों के साथ अवकलन और समाकलन के नियम प्रदान करता है, जो आधुनिक स्टोकेस्टिक मॉडलिंग की भाषा है।
Definition
ब्राउनियन गति स्वतंत्र स्थिर गाऊसी वृद्धि के साथ एक सतत-पथ प्रक्रिया है, और स्टोकेस्टिक कैलकुलस इसके और संबंधित सतत मार्टिंगेल के संबंध में समाकलन और अवकलन का सिद्धांत है, जो इटो समाकलन और इटो सूत्र पर केंद्रित है।
Scope
यह क्षेत्र ब्राउनियन गति के निर्माण और पथ गुणों, इसकी मार्टिंगेल और मार्कोव विशेषताओं, ब्राउनियन गति और सतत मार्टिंगेल के विरुद्ध इटो स्टोकेस्टिक समाकलन, स्टोकेस्टिक कैलकुलस के श्रृंखला नियम के रूप में इटो सूत्र, स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण और उनके अस्तित्व तथा अद्वितीयता सिद्धांत, और फ़ेमैन-काक सूत्र के माध्यम से आंशिक अवकल समीकरणों से संबंध को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- ब्राउनियन गति का निर्माण कैसे होता है, और इसके असाधारण पथ गुण क्या हैं?
- कोई ऐसी प्रक्रिया के विरुद्ध समाकलन कैसे कर सकता है जिसके पथों में असीमित भिन्नता हो?
- जब समाकलक ब्राउनियन गति हो तो सामान्य श्रृंखला नियम का स्थान क्या लेता है?
- स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों को कैसे परिभाषित और हल किया जाता है?
Key theories
- इटो समाकलन और इटो सूत्र
- इटो समाकलन अपने द्विघात भिन्नता का उपयोग करके ब्राउनियन गति के विरुद्ध समाकलन को परिभाषित करता है, और इटो सूत्र परिणामी श्रृंखला नियम है, जिसमें एक अतिरिक्त द्वितीय-क्रम पद होता है जो यह दर्शाता है कि द्विघात भिन्नता समय के साथ रैखिक रूप से संचित होती है।
- स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण और फ़ेमैन-काक
- ब्राउनियन गति द्वारा संचालित स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों में लिपशिट्ज़ और वृद्धि की स्थितियों के तहत अद्वितीय प्रबल समाधान होते हैं, और फ़ेमैन-काक सूत्र इन विसरणों पर अपेक्षाओं के रूप में संबंधित परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के समाधानों का प्रतिनिधित्व करता है।
Clinical relevance
स्टोकेस्टिक कैलकुलस सतत-समय वित्त का गणितीय आधार है, जहाँ ब्लैक-स्कोल्स मॉडल एक इटो प्रक्रिया के माध्यम से विकल्पों का मूल्य निर्धारण करता है, और यह भौतिकी में व्याप्त है, जहाँ यह विसरण और शोर का वर्णन करता है, इंजीनियरिंग में, जहाँ यह फ़िल्टरिंग और स्टोकेस्टिक नियंत्रण का आधार है, और जीव विज्ञान में, जहाँ यह यादृच्छिकता के तहत जनसंख्या और तंत्रिका गतिकी का मॉडल तैयार करता है।
History
ब्राउनियन गति को रॉबर्ट ब्राउन द्वारा देखा गया था, आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की द्वारा भौतिक रूप से प्रतिरूपित किया गया था, और 1923 में नॉर्बर्ट वीनर द्वारा कठोरता से निर्मित किया गया था। कियोसी इटो ने 1940 के दशक में स्टोकेस्टिक समाकलन और इटो सूत्र का निर्माण किया, जिससे स्टोकेस्टिक कैलकुलस की स्थापना हुई, जो बाद में गणितीय वित्त के लिए अपरिहार्य हो गया।
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- ब्राउनियन गति के साथ सामान्य कैलकुलस का उपयोग क्यों नहीं किया जा सकता है?
- ब्राउनियन पथ सतत होते हैं लेकिन कहीं भी अवकलनीय नहीं होते हैं और उनमें अनंत भिन्नता होती है, इसलिए सामान्य रीमैन-स्टिल्टजेस समाकलन और श्रृंखला नियम लागू नहीं होते हैं; इटो कैलकुलस उन्हें पथों की परिमित द्विघात भिन्नता पर आधारित निर्माणों से प्रतिस्थापित करता है।
- इटो सूत्र में अतिरिक्त पद क्या है?
- चूंकि ब्राउनियन गति की वर्ग वृद्धि लुप्त होने के बजाय एक निश्चित दर पर संचित होती है, स्टोकेस्टिक श्रृंखला नियम में व्यतीत समय के समानुपाती एक द्वितीय-अवकल पद शामिल होता है, जिसका सामान्य कैलकुलस में कोई अनुरूप नहीं होता है।