ब्राउनियन गति और स्टोकेस्टिक कैलकुलस
ब्राउनियन गति एक सतत यादृच्छिक प्रक्रिया है जिसके वृद्धिशील स्वतंत्र और गाऊसी होते हैं; इस पर निर्मित स्टोकेस्टिक कैलकुलस इसके अनियमित पथों के साथ समाकलन और अवकलन के नियम प्रदान करता है।
Definition
ब्राउनियन गति स्वतंत्र स्थिर गाऊसी वृद्धिशील और सतत कहीं भी अवकलनीय नहीं होने वाले पथों के साथ एक सतत-समय प्रक्रिया है, और स्टोकेस्टिक कैलकुलस ऐसी प्रक्रियाओं के संबंध में समाकलन और अवकलन का सिद्धांत है, जो इटो समाकलन और इटो के चर-परिवर्तन सूत्र पर केंद्रित है।
Scope
यह क्षेत्र वीनर प्रक्रिया और उसके पथ गुणों, इटो स्टोकेस्टिक समाकलन और इटो के सूत्र, स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण और विसरण प्रक्रियाओं, फेनमैन-काक और फोकर-प्लैंक समीकरण के माध्यम से आंशिक अवकल समीकरणों से संबंध, गिर्सानोव माप परिवर्तन, और छलांगों के साथ लेवी प्रक्रियाओं तक विस्तार को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- ब्राउनियन गति को कौन से गुण दर्शाते हैं और इसके पथों को इतना अनियमित बनाते हैं?
- इसकी अनंत भिन्नता के बावजूद ब्राउनियन गति के विरुद्ध समाकलन को कैसे परिभाषित किया जाता है?
- इटो का सूत्र क्या है और यह सामान्य श्रृंखला नियम का स्थान कैसे लेता है?
- स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण और लेवी प्रक्रियाएं ढांचे का विस्तार कैसे करती हैं?
Key theories
- इटो समाकलन और इटो का सूत्र
- इटो समाकलन मार्टिंगेल गुण और द्विघात भिन्नता का उपयोग करके ब्राउनियन गति के विरुद्ध समाकलन को परिभाषित करता है जो व्यतीत समय के बराबर होता है, और इटो का सूत्र एक अतिरिक्त द्वितीय-अवकल पद के साथ चर-परिवर्तन नियम देता है जो उस भिन्नता को दर्शाता है।
- विसरण और आंशिक अवकल समीकरणों से संबंध
- स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों के समाधान मार्कोव विसरण होते हैं जिनकी संक्रमण घनत्व फोकर-प्लैंक और पश्च कोलमोगोरोव समीकरणों को हल करती है, और फेनमैन-काक सूत्र परवलयिक समीकरणों के समाधानों को विसरण पथों पर अपेक्षाओं के रूप में प्रस्तुत करता है।
Clinical relevance
ब्राउनियन गति और स्टोकेस्टिक कैलकुलस कणों और ऊष्मा के विसरण, विकल्प मूल्य निर्धारण के ब्लैक-शोल्स सिद्धांत में परिसंपत्ति मूल्यों के यादृच्छिक उतार-चढ़ाव, भौतिक और इंजीनियरिंग प्रणालियों में शोर, और शोर वाले संकेतों के फ़िल्टरिंग का मॉडल बनाते हैं, जिससे वे भौतिकी, वित्त और नियंत्रण में अपरिहार्य हो जाते हैं।
History
ब्राउन ने 1827 में पराग कणों की अनियमित गति का अवलोकन किया, आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की ने लगभग 1905 में इसका भौतिक सिद्धांत दिया, बैचेलियर ने 1900 में पहले ही वित्त के लिए इसका उपयोग किया था, वीनर ने 1923 में इसे कठोरता से निर्मित किया, और इटो ने 1940 के दशक में स्टोकेस्टिक कैलकुलस बनाया जिसने इसे एक कम्प्यूटेशनल उपकरण में बदल दिया।
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- ब्राउनियन गति के लिए सामान्य कैलकुलस का उपयोग क्यों नहीं किया जा सकता है?
- ब्राउनियन पथों में अनंत कुल भिन्नता होती है और वे कहीं भी अवकलनीय नहीं होते हैं, इसलिए सामान्य समाकलन और शास्त्रीय श्रृंखला नियम विफल हो जाते हैं; इटो का स्टोकेस्टिक कैलकुलस प्रतिस्थापन प्रदान करता है जो द्विघात भिन्नता का हिसाब रखते हैं।
- इटो का सूत्र क्या है?
- यह ब्राउनियन गति या विसरण के फलनों के लिए श्रृंखला नियम का स्टोकेस्टिक अनुरूप है, जिसमें द्वितीय अवकल से संबंधित एक अतिरिक्त पद शामिल है जो पथों की गैर-शून्य द्विघात भिन्नता से उत्पन्न होता है।