इटो का सूत्र
इटो का सूत्र स्टोकेस्टिक कैलकुलस का चेन नियम है: जब एक स्मूथ फंक्शन को इटो प्रक्रिया पर लागू किया जाता है, तो अंतर में न केवल सामान्य प्रथम-क्रम पद शामिल होते हैं, बल्कि द्विघात भिन्नता द्वारा संचालित एक अतिरिक्त द्वितीय-क्रम पद भी शामिल होता है।
Definition
इटो का सूत्र एक इटो प्रक्रिया के एक स्मूथ फंक्शन के स्टोकेस्टिक अंतर को सामान्य चेन-नियम पदों और प्रक्रिया के दूसरे व्युत्पन्न और द्विघात भिन्नता से जुड़े एक अतिरिक्त पद के योग के रूप में व्यक्त करता है।
Scope
यह विषय ब्राउनियन गति और सामान्य इटो प्रक्रियाओं के कार्यों के लिए इटो के सूत्र के कथन, क्रॉस-भिन्नता पदों के साथ बहुआयामी संस्करण, निरंतर सेमीमार्टिंगेल्स के लिए सूत्र, और इसके मुख्य परिणामों को शामिल करता है, जिसमें भागों द्वारा एकीकरण, ब्लैक-स्कोल्स समीकरण का व्युत्पत्ति, फेनमैन-काक प्रतिनिधित्व, और गिरसानोव का माप-परिवर्तन प्रमेय शामिल हैं।
Core questions
- स्टोकेस्टिक चेन नियम में एक द्वितीय-क्रम पद क्यों शामिल है जो सामान्य कैलकुलस में अनुपस्थित है?
- इटो का सूत्र कई प्रक्रियाओं और सामान्य सेमीमार्टिंगेल्स तक कैसे विस्तारित होता है?
- यह प्रसार को नियंत्रित करने वाले आंशिक अंतर समीकरणों को कैसे जन्म देता है?
- गिरसानोव के प्रमेय जैसे माप-परिवर्तन परिणाम इससे कैसे प्राप्त होते हैं?
Key concepts
- स्टोकेस्टिक चेन नियम
- द्विघात-भिन्नता सुधार
- भागों द्वारा एकीकरण
- फेनमैन-काक सूत्र
- गिरसानोव प्रमेय
Key theories
- इटो का सूत्र
- एक इटो प्रक्रिया के दो बार-अवकलनीय फलन के लिए, अंतर प्रक्रिया के अंतर के गुणा प्रथम व्युत्पन्न के बराबर होता है, साथ ही द्विघात भिन्नता के गुणा द्वितीय व्युत्पन्न का आधा होता है, सुधार पद इसलिए उत्पन्न होता है क्योंकि वर्ग ब्राउनियन वृद्धि एक निश्चित दर पर जमा होती है।
- फेनमैन-काक और गिरसानोव परिणाम
- इटो के सूत्र को लागू करने से परवलयिक आंशिक अंतर समीकरणों के समाधानों का फेनमैन-काक प्रतिनिधित्व प्रसार पर अपेक्षाओं के रूप में प्राप्त होता है और गिरसानोव का प्रमेय यह बताता है कि ब्राउनियन गति संभाव्यता माप के एक समतुल्य परिवर्तन के तहत कैसे बदलती है।
Clinical relevance
इटो का सूत्र स्टोकेस्टिक मॉडलिंग का कम्प्यूटेशनल आधार है: यह वित्त में ब्लैक-स्कोल्स आंशिक अंतर समीकरण और विकल्प-मूल्य निर्धारण सूत्र उत्पन्न करता है, स्टोकेस्टिक फ़िल्टरिंग और नियंत्रण के समीकरणों को व्युत्पन्न करता है, और फेनमैन-काक प्रतिनिधित्व के माध्यम से प्रसार प्रक्रियाओं को भौतिकी के आंशिक अंतर समीकरणों से जोड़ता है।
History
इटो ने 1940 के दशक में अपने सूत्र को नए स्टोकेस्टिक कैलकुलस के आधारशिला के रूप में सिद्ध किया; काक के पहले के पथ-अभिन्न विचारों ने फेनमैन-काक सूत्र देने के लिए इसके साथ मिलकर काम किया, और गिरसानोव का 1960 का माप-परिवर्तन प्रमेय, उसी कैलकुलस के माध्यम से व्युत्पन्न, फ़िल्टरिंग और वित्त के लिए आवश्यक हो गया।
Key figures
- Kiyosi Ito
- Mark Kac
- Igor Girsanov
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- सामान्य चेन नियम की तुलना में इटो के सूत्र में एक अतिरिक्त पद क्यों होता है?
- क्योंकि ब्राउनियन गति की वर्ग वृद्धि सीमा में गायब नहीं होती है, बल्कि समय के अनुपात में जमा होती है, एक द्वितीय-क्रम टेलर पद बना रहता है और विशेषता आधा-द्वितीय-व्युत्पन्न पद का योगदान करता है।
- वित्त में इटो के सूत्र का उपयोग किस लिए किया जाता है?
- इसे एक अंतर्निहित इटो प्रक्रिया के फलन के रूप में एक व्युत्पन्न की रियायती कीमत पर लागू करने से ब्लैक-स्कोल्स आंशिक अंतर समीकरण प्राप्त होता है, जिससे विकल्प मूल्य और हेजिंग रणनीतियाँ प्राप्त होती हैं।