स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण

एक स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण एक प्रणाली के विकास का वर्णन करता है जो एक नियतात्मक प्रवृत्ति और ब्राउनियन रव दोनों से संचालित होती है, और इसके समाधान, विसरण प्रक्रियाएं, विज्ञान और वित्त में निरंतर यादृच्छिक गतिकी का मॉडल तैयार करती हैं।

Definition

एक स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण एक प्रक्रिया के लिए एक समीकरण है जिसका अतिसूक्ष्म परिवर्तन समय वृद्धि के बहाव पद गुना और ब्राउनियन वृद्धि के विसरण पद गुना होता है, जिसे इटो समाकल के माध्यम से व्याख्या किया जाता है, जिसके समाधान विसरण प्रक्रियाएं होते हैं।

Scope

यह विषय ब्राउनियन गति द्वारा संचालित बहाव और विसरण गुणांकों के साथ स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों के निरूपण, प्रबल और दुर्बल समाधानों तथा पथवार और वितरण संबंधी अद्वितीयता के बीच अंतर, लिप्सचिट्ज़ और रैखिक-विकास स्थितियों के तहत अस्तित्व और अद्वितीयता, उनके जनरेटर के साथ समाधानों के मार्कोव और विसरण गुणधर्म, ज्यामितीय ब्राउनियन गति और ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया जैसे मानक उदाहरण, और यूलर-मारुयामा विधि जैसी संख्यात्मक योजनाओं को शामिल करता है।

Core questions

• ब्राउनियन रव द्वारा संचालित एक अवकल समीकरण को कठोर अर्थ कैसे दिया जाता है?
• प्रबल और दुर्बल समाधानों तथा अद्वितीयता की संबंधित धारणाओं के बीच क्या अंतर है?
• किन परिस्थितियों में एक अद्वितीय समाधान मौजूद होता है?
• परिणामी विसरणों का वर्णन उनके जनरेटर द्वारा कैसे किया जाता है और उन्हें संख्यात्मक रूप से कैसे अनुकरण किया जाता है?

Key concepts

• बहाव और विसरण गुणांक
• प्रबल और दुर्बल समाधान
• पथवार अद्वितीयता
• विसरण जनरेटर
• यूलर-मारुयामा योजना

Key theories

समाधानों का अस्तित्व और अद्वितीयता

जब बहाव और विसरण गुणांक लिप्सचिट्ज़ निरंतर होते हैं और अधिकतम रैखिक रूप से बढ़ते हैं, तो स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण का एक अद्वितीय प्रबल समाधान होता है, जिसे पिकार्ड पुनरावृति द्वारा प्राप्त किया जाता है जो नियतात्मक सिद्धांत के समानांतर होता है लेकिन इटो समाकल और आइसोमेट्री का उपयोग करता है।

विसरण और उनके जनरेटर

स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों के समाधान मार्कोव विसरण प्रक्रियाएं हैं जिनके अतिसूक्ष्म जनरेटर बहाव और विसरण गुणांकों से निर्मित एक द्वितीय-क्रम अवकल ऑपरेटर होते हैं, जो संभाव्य गतिकी को परवलयिक और दीर्घवृत्तीय आंशिक अवकल समीकरणों से जोड़ते हैं।

Clinical relevance

स्टोकेस्टिक अवकल समीकरण मात्रात्मक वित्त में परिसंपत्ति की कीमतों और ब्याज दरों, भौतिकी में घर्षण और रव के तहत कणों के वेग, जीव विज्ञान और रसायन विज्ञान में यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के तहत जनसंख्या के आकार और रासायनिक सांद्रता, और इंजीनियरिंग में शोरगुल वाली नियंत्रण प्रणालियों का मॉडल तैयार करते हैं, इन मॉडलों के मोंटे कार्लो सिमुलेशन के लिए उनका संख्यात्मक समाधान केंद्रीय है।

History

इटो ने 1940 के दशक में स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों को सफेद रव द्वारा संचालित समीकरणों के कठोर रूप के रूप में प्रस्तुत किया, और अस्तित्व, अद्वितीयता और विसरण सिद्धांत को इटो, वतनबे, स्ट्रूक और वरधान द्वारा विकसित किया गया; 1970 के दशक से गणितीय वित्त के उदय के साथ उनके अनुप्रयोगों का नाटकीय रूप से विस्तार हुआ।

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Shinzo Watanabe
• Leonard Ornstein

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

प्रबल और दुर्बल समाधान के बीच क्या अंतर है?

एक प्रबल समाधान दिए गए ब्राउनियन गति और निस्पंदन पर आधारित होता है, इसलिए समाधान उस विशिष्ट रव का एक फलन होता है, जबकि एक दुर्बल समाधान केवल कुछ संभाव्यता स्थान पर सही वितरण के साथ एक प्रक्रिया प्रदान करता है; दोनों अद्वितीयता की तदनुसार विभिन्न धारणाओं के साथ आते हैं।

स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों को संख्यात्मक रूप से कैसे हल किया जाता है?

यूलर-मारुयामा विधि जैसी योजनाएं समय को असतत करती हैं और ब्राउनियन वृद्धियों को अनुकरणीय गाऊसी चरणों से बदल देती हैं; वे चरण आकार घटने पर वास्तविक समाधान में परिवर्तित होती हैं, हालांकि उन दरों पर जो रव की अनियमितता को दर्शाती हैं।