वीनर प्रक्रिया
वीनर प्रक्रिया ब्राउनियन गति का कठोर गणितीय मॉडल है: एक सतत प्रक्रिया जो शून्य से शुरू होती है, जिसके असंबद्ध अंतरालों पर वृद्धि स्वतंत्र और सामान्य रूप से वितरित होती है, जिसका प्रसरण व्यतीत समय के बराबर होता है।
Definition
वीनर प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जिसमें मूल से शुरू होने वाले सतत पथ होते हैं, जिसमें स्वतंत्र वृद्धि होती है, और किसी भी अंतराल पर वृद्धि सामान्य रूप से शून्य माध्य और अंतराल की लंबाई के बराबर प्रसरण के साथ वितरित होती है, जो ब्राउनियन गति का विहित मॉडल प्रदान करती है।
Scope
यह विषय वीनर प्रक्रिया के परिभाषित गुणों, इसके अस्तित्व और वीनर के निर्माण, इसके पथों की निरंतरता फिर भी कहीं भी अवकलनीयता नहीं होने, व्यतीत समय के बराबर इसकी द्विघात भिन्नता, प्रबल मार्कोव गुण और परावर्तन सिद्धांत, स्केलिंग और समय-उत्क्रमण अपरिवर्तनीयता, और इसकी सूक्ष्म उतार-चढ़ाव का वर्णन करने वाले पुनरावृत्त लघुगणक के नियम को शामिल करता है।
Core questions
- वीनर प्रक्रिया को कौन से स्वयंसिद्ध परिभाषित करते हैं और इसके अस्तित्व की गारंटी देते हैं?
- इसके पथ सतत क्यों होते हैं लेकिन कहीं भी अवकलनीय नहीं होते?
- इसकी द्विघात भिन्नता क्या है और यह व्यतीत समय के बराबर क्यों होती है?
- परावर्तन सिद्धांत और प्रबल मार्कोव गुण इसके व्यवहार का वर्णन कैसे करते हैं?
Key theories
- पथ गुण और द्विघात भिन्नता
- वीनर-प्रक्रिया पथ लगभग निश्चित रूप से सतत होते हैं फिर भी कहीं भी अवकलनीय नहीं होते और अनंत कुल भिन्नता वाले होते हैं, लेकिन किसी भी अंतराल पर उनकी द्विघात भिन्नता अंतराल की लंबाई के बराबर होती है, यह गुण स्टोकेस्टिक एकीकरण को संभव बनाता है।
- प्रबल मार्कोव गुण और परावर्तन सिद्धांत
- प्रक्रिया रुकने के समय पर नए सिरे से शुरू होती है, और किसी स्तर तक पहुंचने के बाद पथ को परावर्तित करने से चल रहे अधिकतम और प्रथम-मार्ग समय का वितरण मिलता है, जो हिटिंग-टाइम गणना के लिए एक शक्तिशाली उपकरण है।
Clinical relevance
वीनर प्रक्रिया सूक्ष्म कणों की तापीय गति को मॉडल करती है, स्टोकेस्टिक अवकल समीकरणों में ड्राइविंग शोर और परिसंपत्ति कीमतों के ब्लैक-स्कोल्स मॉडल के रूप में कार्य करती है, डॉन्स्कर के अपरिवर्तनीयता सिद्धांत के माध्यम से यादृच्छिक चालों की स्केलिंग सीमा के रूप में प्रकट होती है, और इंजीनियरिंग में सिग्नल-प्लस-शोर मॉडल को रेखांकित करती है।
History
बैचेलियर ने 1900 में इस प्रक्रिया के साथ स्टॉक की कीमतों को मॉडल किया और आइंस्टीन ने 1905 में इसका भौतिक सिद्धांत दिया, लेकिन यह वीनर थे जिन्होंने 1923 में साबित किया कि निरंतर कार्यों के स्थान पर आवश्यक गुणों के साथ एक संभाव्यता माप मौजूद है, जिसके बाद लेवी और अन्य ने इसके उल्लेखनीय पथ गुणों का मानचित्रण किया।
Key figures
- Norbert Wiener
- Albert Einstein
- Louis Bachelier
- Paul Levy
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- morters2010
Frequently asked questions
- क्या वीनर प्रक्रिया ब्राउनियन गति के समान है?
- हाँ; वीनर प्रक्रिया ब्राउनियन गति की गणितीय रूप से कठोर परिभाषा है, जिसका नाम नॉर्बर्ट वीनर के नाम पर रखा गया है जिन्होंने इसे पहली बार सतत पथों पर एक माप के रूप में निर्मित किया था।
- एक पथ सतत कैसे हो सकता है लेकिन कहीं भी अवकलनीय नहीं हो सकता?
- पथ कभी कूदता नहीं है, इसलिए यह सतत होता है, फिर भी यह हर पैमाने पर इतनी हिंसक रूप से दोलन करता है कि किसी भी बिंदु पर कोई स्पर्शरेखा दिशा मौजूद नहीं होती है, यही कारण है कि इसकी कुल भिन्नता अनंत होती है।