इटो समाकल

इटो समाकल ब्राउनियन गति के विरुद्ध एक यादृच्छिक प्रक्रिया के समाकलन को अर्थ देता है, एक ऐसा कार्य जिसे सामान्य कलन संभाल नहीं सकता क्योंकि ब्राउनियन पथों में अनंत भिन्नता होती है, लेकिन यह उनकी परिमित द्विघात भिन्नता और मूल्यांकन बिंदुओं के चतुर चुनाव का लाभ उठाता है।

Definition

ब्राउनियन गति के विरुद्ध एक पूर्वानुमानित प्रक्रिया का इटो समाकल, माध्य वर्ग में, अनुमानित योगों की सीमा है जो प्रत्येक उप-अंतराल के बाएं समापन बिंदु पर समाकल्य का मूल्यांकन करते हैं, जिसे पहले सरल समाकल्य के लिए परिभाषित किया गया है और इटो आइसोमेट्री द्वारा विस्तारित किया गया है।

Scope

यह विषय पहले सरल पूर्वानुमानित समाकल्य के लिए इटो समाकल के निर्माण को शामिल करता है और फिर इटो आइसोमेट्री द्वारा वर्ग-समाकल्य के लिए, निरंतर स्थानीय मार्टिंगेल तक विस्तार, समाकल का मार्टिंगेल गुण और इसकी द्विघात भिन्नता, इटो और स्ट्रैटोनोविच परंपराओं के बीच अंतर, और पूर्वानुमानशीलता की भूमिका तथा बाएं समापन बिंदुओं का गैर-प्रत्याशित चुनाव।

Core questions

• ब्राउनियन गति के विरुद्ध समाकलन के लिए एक नई परिभाषा की आवश्यकता क्यों है?
• इटो आइसोमेट्री निर्माण को कैसे सफल बनाती है?
• समाकल्य का मूल्यांकन बाएं समापन बिंदु पर क्यों किया जाना चाहिए, और पूर्वानुमानशीलता क्या सुनिश्चित करती है?
• इटो समाकल स्ट्रैटोनोविच समाकल से कैसे भिन्न है?

Key concepts

• पूर्वानुमानित समाकल्य
• इटो आइसोमेट्री
• द्विघात भिन्नता
• मार्टिंगेल गुण
• इटो बनाम स्ट्रैटोनोविच

Key theories

इटो आइसोमेट्री और निर्माण

वर्ग-समाकल्य पूर्वानुमानित समाकल्य के लिए इटो समाकल का माध्य वर्ग, वर्गित समाकल्य के अपेक्षित समय-समाकल के बराबर होता है, एक आइसोमेट्री जो समाकल को सरल प्रक्रियाओं के लिए परिभाषित करने और पूर्णता द्वारा समाकल्य के एक बड़े वर्ग तक विस्तारित करने की अनुमति देती है।

समाकल का मार्टिंगेल गुण

ब्राउनियन गति के विरुद्ध एक उपयुक्त पूर्वानुमानित प्रक्रिया का इटो समाकल स्वयं एक सतत मार्टिंगेल है जिसकी द्विघात भिन्नता वर्गित समाकल्य के समय-समाकल द्वारा दी जाती है, जो बाएं-छोर, गैर-प्रत्याशित परंपरा को स्वाभाविक बनाती है।

Clinical relevance

इटो समाकल गणितीय वित्त में निरंतर पुनर्संतुलित व्यापार रणनीति से होने वाले लाभों, भौतिक और जैविक प्रणालियों के मॉडल में शोर के संचित प्रभाव, और स्टोकेस्टिक फ़िल्टरिंग में नवाचारों के पद का प्रतिनिधित्व करने वाली गणितीय वस्तु है; इसका मार्टिंगेल गुण मध्यस्थता-मुक्त मूल्य निर्धारण का विश्लेषणात्मक आधार है।

History

कियोसी इटो ने 1940 के दशक में स्टोकेस्टिक समाकल को परिभाषित किया ताकि ब्राउनियन गति द्वारा संचालित अंतर समीकरणों को अर्थ दिया जा सके, और स्ट्रैटोनोविच ने बाद में सामान्य श्रृंखला-नियम व्यवहार के साथ एक वैकल्पिक परंपरा पेश की; इटो निर्माण, अपने मार्टिंगेल गुण के साथ, संभाव्यता और वित्त के लिए मानक बन गया।

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

समाकल्य का मूल्यांकन बाएं समापन बिंदु पर क्यों किया जाता है?

बाएं समापन बिंदु का उपयोग समाकल्य को गैर-प्रत्याशित रखता है, ताकि यह ब्राउनियन गति की भविष्य की वृद्धि को न देख सके; यही कारण है कि परिणामी समाकल एक मार्टिंगेल बन जाता है और रणनीतियों और नियंत्रणों की कारण प्रकृति को दर्शाता है।

इटो समाकल स्ट्रैटोनोविच समाकल से कैसे भिन्न है?

स्ट्रैटोनोविच समाकल समाकल्य का मूल्यांकन मध्य बिंदु पर करता है और सामान्य श्रृंखला नियम का पालन करता है लेकिन यह एक मार्टिंगेल नहीं है, जबकि इटो समाकल बाएं समापन बिंदु का उपयोग करता है, एक मार्टिंगेल है, और संशोधित इटो श्रृंखला नियम का पालन करता है; दोनों द्विघात भिन्नता से संबंधित एक सुधार पद से भिन्न होते हैं।