ब्राउनियन गति
ब्राउनियन गति, या वीनर प्रक्रिया, एक सतत-समय यादृच्छिक चाल है जो अनगिनत छोटे स्वतंत्र चरणों की स्केलिंग सीमा के रूप में उत्पन्न होती है; इसके पथ हर जगह सतत होते हैं फिर भी कहीं भी अवकलनीय नहीं होते हैं।
Definition
ब्राउनियन गति एक वास्तविक-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो शून्य से शुरू होती है जिसमें सतत नमूना पथ होते हैं जिनके असंबद्ध अंतरालों पर वृद्धि स्वतंत्र और सामान्य रूप से वितरित होती है जिसका माध्य शून्य और विचरण अंतराल की लंबाई के बराबर होता है।
Scope
यह विषय सतत पथों, स्वतंत्र स्थिर वृद्धि, और गाऊसी वितरण वाली एक प्रक्रिया के रूप में ब्राउनियन गति के परिभाषित गुणों, वीनर के निर्माण और डॉन्स्कर के अपरिवर्तनीयता सिद्धांत के माध्यम से इसके अस्तित्व, निरंतरता के पथ गुणों, कहीं भी अवकलनीयता नहीं, और द्विघात भिन्नता, मजबूत मार्कोव गुण और परावर्तन सिद्धांत, पुनरावृत्त लघुगणक के नियम, और एक सतत मार्टिंगेल और एक गाऊसी प्रक्रिया के रूप में ब्राउनियन गति की भूमिका को शामिल करता है।
Core questions
- स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में ब्राउनियन गति को विशिष्ट रूप से कौन से गुण दर्शाते हैं?
- सतत ब्राउनियन पथों वाली प्रक्रिया का अस्तित्व कैसे स्थापित किया जाता है?
- ब्राउनियन पथों के उल्लेखनीय विश्लेषणात्मक गुण क्या हैं?
- परावर्तन सिद्धांत अधिकतम और हिटिंग समय के वितरण को कैसे उत्पन्न करता है?
Key concepts
- वीनर प्रक्रिया
- स्वतंत्र गाऊसी वृद्धि
- कहीं भी अवकलनीय नहीं पथ
- द्विघात भिन्नता
- परावर्तन सिद्धांत
Key theories
- डॉन्स्कर का अपरिवर्तनीयता सिद्धांत
- उपयुक्त रूप से पुनः स्केल की गई यादृच्छिक चालें सतत पथों के स्थान में ब्राउनियन गति में वितरण में अभिसरित होती हैं, कार्यात्मक केंद्रीय सीमा प्रमेय जो छोटे स्वतंत्र प्रभावों के योग की सीमा के रूप में ब्राउनियन गति की सार्वभौमिकता की व्याख्या करता है।
- पथ गुण और परावर्तन सिद्धांत
- ब्राउनियन पथ लगभग निश्चित रूप से सतत, कहीं भी अवकलनीय नहीं, और व्यतीत समय के बराबर द्विघात भिन्नता वाले होते हैं, और परावर्तन सिद्धांत मजबूत मार्कोव गुण का उपयोग करके चल रहे अधिकतम और प्रथम-मार्ग समय के वितरण को बंद रूप में देता है।
Clinical relevance
ब्राउनियन गति भौतिकी और रसायन विज्ञान में कणों के प्रसार, वित्त के ब्लैक-शोल्स सिद्धांत में परिसंपत्ति की कीमतों के शोरगुल वाले विकास, इंजीनियरिंग में थर्मल और इलेक्ट्रॉनिक शोर, और प्रदूषकों या जीनों के यादृच्छिक प्रसार को मॉडल करती है; यह वह आधार भी है जिससे अधिक सामान्य प्रसार और स्टोकेस्टिक समाकलन का निर्माण किया जाता है।
History
रॉबर्ट ब्राउन ने 1827 में पराग कणों की अनियमित गति का अवलोकन किया, और आइंस्टीन और स्मोलुचोव्स्की ने 1905 और 1906 में इसकी भौतिक व्याख्या की। नॉर्बर्ट वीनर ने 1923 में कठोर गणितीय निर्माण दिया, और लेवी और अन्य ने इसके पथों के विस्तृत सिद्धांत को विकसित किया।
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Paul Levy
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Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- ब्राउनियन पथ सतत क्यों होते हैं लेकिन अवकलनीय नहीं होते?
- किसी भी छोटे अंतराल पर वृद्धि अंतराल की लंबाई के वर्गमूल के क्रम की होती है, जो पथ को सतत रखती है लेकिन अंतर भागफल को बढ़ा देती है, इसलिए किसी भी बिंदु पर कोई व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है।
- ब्राउनियन गति यादृच्छिक चाल से कैसे संबंधित है?
- ब्राउनियन गति एक यादृच्छिक चाल की स्केलिंग सीमा है: यदि एक साधारण यादृच्छिक चाल को समय में तेज किया जाता है और मिलान दरों पर अंतरिक्ष में छोटा किया जाता है, तो इसकी प्रक्षेपवक्र ब्राउनियन गति में अभिसरित होती है, जैसा कि डॉन्स्कर के अपरिवर्तनीयता सिद्धांत द्वारा सटीक बनाया गया है।