मार्टिंगेल्स
एक मार्टिंगेल एक निष्पक्ष खेल का एक मॉडल है: यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम जिसका अपेक्षित अगला मान, पिछली सभी जानकारी को देखते हुए, उसके वर्तमान मान के बराबर होता है, एक ऐसी संरचना जो प्रायिकता में कुछ सबसे शक्तिशाली उपकरण प्रदान करती है।
Definition
एक मार्टिंगेल एक फिल्ट्रेशन के अनुकूल समाकलनीय यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम है जैसे कि अतीत को देखते हुए प्रत्येक पद की सशर्त अपेक्षा पिछले पद के बराबर होती है, जो एक निष्पक्ष खेल को औपचारिक रूप देती है जिसमें कोई भी सट्टेबाजी रणनीति व्यवस्थित लाभ नहीं देती है।
Scope
यह क्षेत्र फिल्ट्रेशन और अनुकूलित प्रक्रियाओं, मार्टिंगेल्स, सबमार्टिंगेल्स और सुपरमार्टिंगेल्स की परिभाषाओं, डूब अपघटन (Doob decomposition), स्टॉपिंग टाइम्स और वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय (optional stopping theorem), मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय और एकसमान समाकलनीयता (uniform integrability), डूब की अधिकतम और Lp असमानताओं, और आधुनिक प्रायिकता में एक एकीकृत उपकरण के रूप में मार्टिंगेल्स की भूमिका को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- सूचना प्रवाह के सापेक्ष किसी प्रक्रिया के लिए निष्पक्ष खेल होने का क्या अर्थ है?
- वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय एक यादृच्छिक समय पर एक मार्टिंगेल के मूल्य को कैसे बाधित करता है?
- किन परिस्थितियों में एक मार्टिंगेल अभिसरण करता है, और किस अर्थ में?
- मार्टिंगेल असमानताएं एक प्रक्रिया के अधिकतम को कैसे नियंत्रित करती हैं?
Key theories
- वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय
- एक स्टॉपिंग टाइम पर उपयुक्त परिस्थितियों में, उस यादृच्छिक समय पर एक मार्टिंगेल का अपेक्षित मान उसके प्रारंभिक मान के बराबर होता है, जो एक निष्पक्ष खेल को हराने की असंभवता को औपचारिक रूप देता है और हिटिंग प्रायिकताओं और अपेक्षित अवधियों के लिए एक बहुमुखी कम्प्यूटेशनल उपकरण प्रदान करता है।
- मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय
- एक मार्टिंगेल जो पहले माध्य में परिबद्ध है, लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है, और एकसमान समाकलनीयता के तहत यह पहले माध्य में भी अभिसरण करता है और इसकी सीमा से बंद होता है, एक उल्लेखनीय सामान्यता का परिणाम जो कई अभिसरण कथनों को समाहित करता है।
Clinical relevance
मार्टिंगेल्स गणितीय वित्त में मध्यस्थता-मुक्त मूल्य निर्धारण की गणितीय रीढ़ हैं, जहाँ रियायती परिसंपत्ति मूल्य जोखिम-तटस्थ माप के तहत मार्टिंगेल्स होते हैं; वे सांख्यिकी में अनुक्रमिक विश्लेषण और वैकल्पिक-स्टॉपिंग तर्कों, सांद्रता असमानताओं के माध्यम से यादृच्छिक एल्गोरिदम के विश्लेषण, और स्टोकेस्टिक सन्निकटन (stochastic approximation) का भी आधार हैं।
History
मार्टिंगेल शब्द जीन विले के 1939 के जुआ प्रणालियों पर काम के माध्यम से प्रायिकता में आया, और जोसेफ डूब ने 1940 और 1950 के दशक में व्यवस्थित सिद्धांत विकसित किया, जिसमें अभिसरण और वैकल्पिक-स्टॉपिंग प्रमेय और अधिकतम असमानताएं शामिल थीं जिन्होंने मार्टिंगेल्स को क्षेत्र का एक केंद्रीय उपकरण बना दिया।
Key figures
- Joseph L. Doob
- Paul Levy
- Jean Ville
- David Williams
Related topics
Seminal works
- doob1953
- williams1991
Frequently asked questions
- मार्टिंगेल्स को निष्पक्ष खेल के रूप में क्यों वर्णित किया जाता है?
- क्योंकि परिभाषित गुण कहता है कि, अब तक ज्ञात सभी बातों को देखते हुए, अपेक्षित भविष्य का मान वर्तमान मान के बराबर होता है; कोई अनुमानित बहाव ऊपर या नीचे नहीं होता है, ठीक उसी स्थिति के लिए जिसमें किसी भी खिलाड़ी को कोई बढ़त नहीं होती है।
- जुआ से परे मार्टिंगेल्स को इतना उपयोगी क्या बनाता है?
- उनके अभिसरण प्रमेय, वैकल्पिक-स्टॉपिंग प्रमेय और अधिकतम असमानताएं बहुत कमजोर मान्यताओं के तहत लागू होती हैं, इसलिए प्रायिकता, सांख्यिकी और वित्त में कई मात्राओं का विश्लेषण केवल एक उपयुक्त मार्टिंगेल को पहचानकर या बनाकर किया जा सकता है।