पीडीई (PDEs) को दीर्घवृत्तीय (elliptic), परवलयिक (parabolic), या अतिपरवलयिक (hyperbolic) के रूप में क्यों वर्गीकृत किया जाता है?

वर्गीकरण गुणात्मक व्यवहार की भविष्यवाणी करता है: दीर्घवृत्तीय समीकरण चिकने समाधानों के साथ स्थिर अवस्थाओं का वर्णन करते हैं, परवलयिक समीकरण विसरण (diffusion) का वर्णन करते हैं जो समय के साथ डेटा को चिकना करता है, और अतिपरवलयिक समीकरण तरंगों का वर्णन करते हैं जो परिमित गति से फैलती हैं और विलक्षणताओं (singularities) को बनाए रखती हैं। प्रकार यह भी निर्धारित करता है कि कौन सी सीमा और प्रारंभिक स्थितियाँ उपयुक्त हैं।

एक पीडीई (PDE) समस्या के सु-स्थापित (well posed) होने का क्या अर्थ है?

हैडमार्ड के अनुसार, एक समस्या सु-स्थापित होती है यदि एक समाधान मौजूद है, अद्वितीय है, और डेटा पर लगातार निर्भर करता है। कई भौतिक रूप से सार्थक समस्याएं सु-स्थापित होती हैं, जबकि अन्य, जैसे कि पश्चगामी ऊष्मा समीकरण (backward heat equation), कु-स्थापित (ill posed) होती हैं और उन्हें नियमितीकरण (regularization) की आवश्यकता होती है।

आंशिक अवकल समीकरण

आंशिक अवकल समीकरण कई चरों के एक अज्ञात फलन को उसके आंशिक अवकलजों से संबंधित करते हैं और सतत भौतिकी (continuum physics) की प्रमुख गणितीय भाषा हैं।

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Definition

एक आंशिक अवकल समीकरण दो या दो से अधिक स्वतंत्र चरों के एक अज्ञात फलन को उसके आंशिक अवकलजों के साथ शामिल करने वाला एक समीकरण है; इसे हल करने का अर्थ है समीकरण और निर्धारित सीमा या प्रारंभिक डेटा के अनुरूप फलनों का निर्धारण करना।

Scope

यह क्षेत्र द्वितीय-क्रम समीकरणों के दीर्घवृत्तीय (elliptic), परवलयिक (parabolic), और अतिपरवलयिक (hyperbolic) प्रकारों में वर्गीकरण, विहित लाप्लास (Laplace), ऊष्मा (heat), और तरंग (wave) समीकरणों, प्रथम-क्रम और अतिपरवलयिक समीकरणों के लिए अभिलक्षणिक विधि (method of characteristics), मौलिक समाधान (fundamental solutions) और ग्रीन के फलन (Green's functions), सु-स्थापन (well-posedness) और सीमा तथा प्रारंभिक स्थितियों, और कमजोर समाधानों (weak solutions) तथा सोबोलेव रिक्त स्थान (Sobolev spaces) के आधुनिक ढांचे को शामिल करता है।

Sub-topics

Core questions

आंशिक अवकल समीकरणों को कैसे वर्गीकृत किया जाता है, और प्रकार क्यों मायने रखता है?
कौन सी सीमा या प्रारंभिक स्थितियाँ एक समस्या को सु-स्थापित (well posed) बनाती हैं?
समाधानों को दर्शाने के लिए मौलिक समाधानों (fundamental solutions) और ग्रीन के फलनों (Green's functions) का उपयोग कैसे किया जाता है?
किस सामान्यीकृत अर्थ में समाधान मौजूद होते हैं जब शास्त्रीय समाधान नहीं होते हैं?

Key theories

दीर्घवृत्तीय (elliptic), परवलयिक (parabolic), और अतिपरवलयिक (hyperbolic) प्रकारों में वर्गीकरण: प्रमुख द्वितीय-क्रम गुणांकों की चिह्न संरचना समीकरणों को लाप्लास, ऊष्मा, और तरंग समीकरणों द्वारा प्रतिरूपित तीन प्रकारों में वर्गीकृत करती है, जिनमें से प्रत्येक में विशिष्ट नियमितता और प्रसार व्यवहार होता है।
मौलिक समाधान (fundamental solutions) और ग्रीन के फलन (Green's functions): कई रैखिक समस्याओं के समाधानों को डेटा को एक मौलिक समाधान या ग्रीन के फलन के साथ संवलित (convolving) करके दर्शाया जाता है जो डोमेन और सीमा स्थितियों के अनुकूल होता है।
कमजोर समाधान (weak solutions) और सोबोलेव रिक्त स्थान (Sobolev spaces): सोबोलेव रिक्त स्थान पर समीकरणों को समाकल रूप में फिर से लिखने से कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक उपकरणों के माध्यम से कमजोर समाधानों का अस्तित्व और अद्वितीयता प्राप्त होती है, जिसमें नियमितता सिद्धांत शास्त्रीय चिकनाई को पुनः प्राप्त करता है।

Clinical relevance

आंशिक अवकल समीकरण ऊष्मा चालन, तरंग प्रसार, द्रव प्रवाह, विद्युत चुंबकत्व, विसरण (diffusion), और क्वांटम यांत्रिकी को नियंत्रित करते हैं, और वे इंजीनियरिंग सिमुलेशन, इमेज प्रोसेसिंग, और ब्लैक-स्कोल्स (Black-Scholes) जैसे समीकरणों के माध्यम से गणितीय वित्त के लिए केंद्रीय हैं।

History

आंशिक अवकल समीकरण अठारहवीं शताब्दी में डी'अलेम्बर्ट के तरंग समीकरण और लाप्लास के विभव सिद्धांत (potential theory) से उत्पन्न हुए, और फूरियर के ऊष्मा चालन के विश्लेषण ने श्रेणी विस्तार (series expansions) को प्रस्तुत किया। हैडमार्ड ने सु-स्थापन को औपचारिक रूप दिया, और सोबोलेव द्वारा बीसवीं शताब्दी में सामान्यीकृत अवकलजों (generalized derivatives) और फलन रिक्त स्थान (function spaces) की शुरुआत ने कमजोर समाधानों का आधुनिक सिद्धांत बनाया।

Key figures

Jean le Rond d'Alembert
Pierre-Simon Laplace
Joseph Fourier
Jacques Hadamard
Sergei Sobolev

Seminal works

evans2010
courant1962
john1982

Frequently asked questions

पीडीई (PDEs) को दीर्घवृत्तीय (elliptic), परवलयिक (parabolic), या अतिपरवलयिक (hyperbolic) के रूप में क्यों वर्गीकृत किया जाता है?: वर्गीकरण गुणात्मक व्यवहार की भविष्यवाणी करता है: दीर्घवृत्तीय समीकरण चिकने समाधानों के साथ स्थिर अवस्थाओं का वर्णन करते हैं, परवलयिक समीकरण विसरण (diffusion) का वर्णन करते हैं जो समय के साथ डेटा को चिकना करता है, और अतिपरवलयिक समीकरण तरंगों का वर्णन करते हैं जो परिमित गति से फैलती हैं और विलक्षणताओं (singularities) को बनाए रखती हैं। प्रकार यह भी निर्धारित करता है कि कौन सी सीमा और प्रारंभिक स्थितियाँ उपयुक्त हैं।
एक पीडीई (PDE) समस्या के सु-स्थापित (well posed) होने का क्या अर्थ है?: हैडमार्ड के अनुसार, एक समस्या सु-स्थापित होती है यदि एक समाधान मौजूद है, अद्वितीय है, और डेटा पर लगातार निर्भर करता है। कई भौतिक रूप से सार्थक समस्याएं सु-स्थापित होती हैं, जबकि अन्य, जैसे कि पश्चगामी ऊष्मा समीकरण (backward heat equation), कु-स्थापित (ill posed) होती हैं और उन्हें नियमितीकरण (regularization) की आवश्यकता होती है।