इटो कैलकुलस और स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन
इटो कैलकुलस ब्राउनियन गति द्वारा संचालित प्रक्रियाओं के लिए एकीकरण और विभेदन का विस्तार करता है, साधारण श्रृंखला नियम को इटो के सूत्र से प्रतिस्थापित करता है, जिसमें द्विघात भिन्नता से एक अतिरिक्त पद होता है।
Definition
इटो समाकल ब्राउनियन गति के विरुद्ध एक अनुमानित प्रक्रिया का स्टोकेस्टिक समाकल है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि यह इटो आइसोमेट्री द्वारा दिए गए विचरण के साथ एक मार्टिंगेल है, और इटो का सूत्र परिणामी परिवर्तन-चर नियम है जो समाकलक की द्विघात भिन्नता को दर्शाने वाला एक द्वितीय-व्युत्पन्न पद जोड़ता है।
Scope
यह विषय ब्राउनियन गति के विरुद्ध बाएं-छोर रीमैन योग की सीमा के रूप में इटो समाकल के निर्माण, इटो आइसोमेट्री, समाकल के मार्टिंगेल गुण, विसरण के फलनों के लिए इटो के सूत्र, बहुआयामी और गुणन नियमों, स्ट्रैटोनोविच समाकल के साथ तुलना, और द्विघात-भिन्नता कैलकुलस को शामिल करता है जो स्टोकेस्टिक को साधारण एकीकरण से अलग करता है।
Core questions
- इटो समाकल का निर्माण कैसे किया जाता है और बाएं छोरों का उपयोग क्यों किया जाना चाहिए?
- इटो आइसोमेट्री क्या है और यह समाकल के विचरण को कैसे नियंत्रित करती है?
- कौन सा अतिरिक्त पद इटो के सूत्र को साधारण श्रृंखला नियम से अलग करता है?
- इटो समाकल स्ट्रैटोनोविच समाकल से कैसे भिन्न है?
Key theories
- इटो समाकल और इटो आइसोमेट्री
- बाएं-छोर के मूल्यांकन के साथ समाकल को परिभाषित करने से यह एक मार्टिंगेल बन जाता है, और इटो आइसोमेट्री अपेक्षित वर्ग समाकल को वर्ग समाकलक के अपेक्षित समाकल के बराबर करती है, जिससे समाकल को इसकी L2 संरचना और स्थिरता मिलती है।
- इटो का सूत्र
- एक विसरण के एक सुचारु फलन के लिए, इटो का सूत्र अंतर को सामान्य ग्रेडिएंट पद के साथ-साथ दूसरे व्युत्पन्न और द्विघात भिन्नता से जुड़े एक सुधार के रूप में व्यक्त करता है, यह वह नियम है जो स्टोकेस्टिक कैलकुलस को गणनात्मक बनाता है और ब्लैक-स्कोल्स समीकरण उत्पन्न करता है।
Clinical relevance
इटो कैलकुलस गणितीय वित्त की कार्यप्रणाली है, जहाँ इटो का सूत्र ब्लैक-स्कोल्स आंशिक अंतर समीकरण और हेजिंग रणनीतियों को प्राप्त करता है, और स्टोकेस्टिक नियंत्रण, फ़िल्टरिंग और भौतिकी में भी इसका उपयोग होता है, जहाँ भी प्रणालियों को गाऊसी श्वेत शोर द्वारा संचालित के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है।
History
इटो ने 1944 और 1951 के पत्रों में विसरण प्रक्रियाओं के निर्माण के लिए स्टोकेस्टिक समाकल और अपने परिवर्तन-चर सूत्र को प्रस्तुत किया, स्ट्रैटोनोविच और फिस्क ने बाद में साधारण श्रृंखला नियम का पालन करने वाले एक वैकल्पिक समाकल का प्रस्ताव रखा, और मैककीन, मेयर और अन्य के काम के माध्यम से सिद्धांत के परिपक्व होने पर दोनों सूत्रीकरणों को समेटा गया।
Key figures
- Kiyosi Ito
- Ruslan Stratonovich
- Henry McKean
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
Frequently asked questions
- इटो के सूत्र में एक अतिरिक्त पद क्यों होता है?
- क्योंकि ब्राउनियन गति में गैर-शून्य द्विघात भिन्नता होती है, टेलर विस्तार में दूसरा-क्रम पद सीमा में गायब नहीं होता है, जिससे एक आधा-गुणा-दूसरा-व्युत्पन्न सुधार जुड़ जाता है जो साधारण कैलकुलस में अनुपस्थित होता है।
- इटो और स्ट्रैटोनोविच समाकल के बीच क्या अंतर है?
- इटो समाकल समाकलक का मूल्यांकन बाएं छोर पर करता है और एक मार्टिंगेल है, जबकि स्ट्रैटोनोविच समाकल मध्यबिंदु का उपयोग करता है और साधारण श्रृंखला नियम का पालन करता है; वे एक सुधार पद से भिन्न होते हैं और विभिन्न अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त होते हैं।