मार्टिंगेल सिद्धांत और प्रक्रियाएँ

एक मार्टिंगेल एक निष्पक्ष खेल को प्रतिरूपित करने वाली एक प्रक्रिया है, जिसमें पूरे अतीत को देखते हुए अगले मान का सबसे अच्छा अनुमान वर्तमान मान होता है, जिसमें कोई व्यवस्थित ऊपर या नीचे की प्रवृत्ति नहीं होती है।

Definition

एक मार्टिंगेल समाकलनीय यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम या परिवार है जो एक फिल्ट्रेशन के अनुकूल होता है जैसे कि वर्तमान जानकारी को देखते हुए प्रत्येक भविष्य के मान की सशर्त अपेक्षा वर्तमान मान के बराबर होती है, जो एक निष्पक्ष खेल को औपचारिक रूप देती है और स्वतंत्र शून्य-माध्य वृद्धि के योगों को सामान्यीकृत करती है।

Scope

यह क्षेत्र फिल्ट्रेशन (filtrations), अनुकूलित प्रक्रियाओं (adapted processes), और सशर्त अपेक्षा (conditional expectation), मार्टिंगेल, सबमार्टिंगेल (submartingales), और सुपरमार्टिंगेल (supermartingales) की परिभाषाओं, स्टॉपिंग टाइम्स (stopping times) और वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय (optional stopping theorem), डूब की अधिकतम और अपक्रॉसिंग असमानताओं (Doob's maximal and upcrossing inequalities) और मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेयों (martingale convergence theorems), डूब अपघटन (Doob decomposition), और स्टोकेस्टिक एकीकरण (stochastic integration) और सीमा प्रमेयों (limit theorems) में मार्टिंगेल की भूमिका को शामिल करता है।

Sub-topics

• मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय
• वैकल्पिक रोक प्रमेय
• मार्टिंगेल्स और स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन

Core questions

• मार्टिंगेल गुण अतीत से भविष्य की भविष्यवाणी के बारे में क्या कहता है?
• वैकल्पिक स्टॉपिंग के माध्यम से स्टॉपिंग टाइम्स मार्टिंगेल के साथ कैसे परस्पर क्रिया करते हैं?
• किन समाकलनीयता शर्तों के तहत एक मार्टिंगेल अभिसरण करता है?
• मार्टिंगेल स्टोकेस्टिक एकीकरण और सीमा प्रमेयों को कैसे आधार बनाते हैं?

Key theories

मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय

एक उपयुक्त अर्थ में परिबद्ध एक मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है, और एक समान रूप से समाकलनीय मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से और माध्य में एक सीमित यादृच्छिक चर में अभिसरण करता है जो इसे बंद कर देता है, जो लगभग निश्चित सीमाओं के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।

वैकल्पिक स्टॉपिंग प्रमेय

उपयुक्त शर्तों के तहत एक रुके हुए मार्टिंगेल की अपेक्षा उसके प्रारंभिक मान के समान होती है, इसलिए बिना दूरदर्शिता के चुने गए एक यादृच्छिक समय पर एक निष्पक्ष खेल को रोकने से उसके अपेक्षित परिणाम में बदलाव नहीं आ सकता है, यह परिणाम जुए, यादृच्छिक चालों और वित्त के लिए व्यापक अनुप्रयोगों के साथ है।

Clinical relevance

मार्टिंगेल सिद्धांत गणितीय वित्त में नो-आर्बिट्रेज मूल्य निर्धारण (no-arbitrage pricing), सांख्यिकी में अनुक्रमिक विश्लेषण (sequential analysis) और एकाग्रता असमानताओं (concentration inequalities), और संभाव्यता में अभिसरण तर्कों (convergence arguments) की वैचारिक नींव प्रदान करता है, और यह ब्राउनियन गति (Brownian motion) और सेमीमार्टिंगेल (semimartingales) के विरुद्ध स्टोकेस्टिक इंटीग्रल (stochastic integrals) को परिभाषित करने के लिए प्राकृतिक सेटिंग है।

History

मार्टिंगेल शब्द विले (Ville) के 1939 के कलेक्टिव्स (collectives) पर काम के माध्यम से संभाव्यता में आया, और डूब (Doob) ने 1940 और 1950 के दशक में मार्टिंगेल, स्टॉपिंग टाइम्स और अभिसरण के व्यवस्थित सिद्धांत को विकसित किया, जिसका समापन उनके 1953 के ग्रंथ में हुआ जिसने मार्टिंगेल को आधुनिक संभाव्यता का एक केंद्रीय उपकरण बना दिया।

Key figures

• Joseph Doob
• Paul Levy
• Jean Ville

Seminal works

• doob1953
• williams1991

Frequently asked questions

सरल शब्दों में मार्टिंगेल क्या है?

यह एक निष्पक्ष खेल का एक मॉडल है: अब तक जो कुछ भी हुआ है उसे देखते हुए, आपकी अपेक्षित अगली स्थिति आपकी वर्तमान स्थिति के बराबर है, इसलिए औसतन आपको न तो लाभ होता है और न ही हानि।

मार्टिंगेल संभाव्यता में इतने महत्वपूर्ण क्यों हैं?

उनके अभिसरण और स्टॉपिंग प्रमेय लगभग निश्चित सीमाओं और अपेक्षाओं के लिए स्वच्छ उपकरण प्रदान करते हैं, और वे स्टोकेस्टिक कैलकुलस (stochastic calculus) और वित्त में आर्बिट्रेज-मुक्त मूल्य निर्धारण (arbitrage-free pricing) की नींव हैं।