लेवी प्रक्रियाएँ
एक लेवी प्रक्रिया में स्थिर स्वतंत्र वृद्धि और प्रायिकता-में-सतत पथ होते हैं, जो ब्राउनियन गति, पॉइसन प्रक्रिया और उनके संयोजनों को छलांगों के साथ एक ही परिवार में एकीकृत करते हैं।
Definition
एक लेवी प्रक्रिया एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो शून्य से शुरू होती है जिसमें स्थिर और स्वतंत्र वृद्धि होती है जो प्रायिकता में सतत होती है, इसलिए किसी भी अंतराल पर इसकी वृद्धि में एक असीमित रूप से विभाज्य वितरण होता है और इसका विशेषता घातांक लेवी-खिंचिन सूत्र द्वारा दिया जाता है।
Scope
यह विषय स्थिर स्वतंत्र वृद्धि के माध्यम से लेवी प्रक्रियाओं की परिभाषा, असीमित रूप से विभाज्य वितरणों के साथ उनके पत्राचार, लेवी-खिंचिन सूत्र जो प्रक्रिया को बहाव, गाऊसी और छलांग वाले भागों में विघटित करता है, नमूना पथों का लेवी-इटो अपघटन, सबऑर्डिनेटर और स्थिर प्रक्रियाएं, और छलांग वाली प्रक्रियाओं के लिए स्टोकेस्टिक कैलकुलस और अनुप्रयोगों को शामिल करता है।
Core questions
- एक लेवी प्रक्रिया को क्या परिभाषित करता है और इसे असीमित रूप से विभाज्य वितरणों से कैसे जोड़ता है?
- लेवी-खिंचिन सूत्र बहाव, प्रसार और छलांगों को कैसे एन्कोड करता है?
- लेवी-इटो अपघटन नमूना पथों का वर्णन कैसे करता है?
- सबऑर्डिनेटर और स्थिर प्रक्रियाओं जैसी कौन सी विशेष लेवी प्रक्रियाएं उत्पन्न होती हैं?
Key theories
- लेवी-खिंचिन सूत्र
- किसी भी समय एक लेवी प्रक्रिया का विशेषता फलन एक विशेषता घातांक का घातांक होता है जिसमें एक रैखिक बहाव, एक गाऊसी विचरण, और छलांगों को नियंत्रित करने वाले लेवी माप के विरुद्ध एक समाकल शामिल होता है, जो नियम का पूर्ण विवरण देता है।
- लेवी-इटो अपघटन
- प्रत्येक लेवी प्रक्रिया एक नियतात्मक बहाव, एक स्वतंत्र ब्राउनियन गति, और छलांगों के पॉइसन यादृच्छिक माप से निर्मित एक स्वतंत्र शुद्ध-छलांग वाले भाग में विभाजित होती है, जो इसके पथों के सतत और असतत घटकों को अलग करती है।
Clinical relevance
लेवी प्रक्रियाएं अचानक छलांगों के साथ परिसंपत्ति रिटर्न, बीमा जोखिम भंडार, भौतिकी में विषम प्रसार, और फटने के साथ कतारबद्ध इनपुट को मॉडल करती हैं, जहां दुर्लभ बड़े आंदोलनों का महत्व होता है, वहां विशुद्ध रूप से गाऊसी मॉडल के अधिक यथार्थवादी विकल्प प्रदान करती हैं।
History
डी फिनेटी ने 1920 के दशक में असीमित रूप से विभाज्य वितरणों को प्रस्तुत किया, लेवी और खिंचिन ने लगभग 1934 में विशेषता-घातांक प्रतिनिधित्व प्राप्त किया, और पथों के सतत और छलांग वाले भागों में इटो के अपघटन ने संरचनात्मक सिद्धांत को पूरा किया जो उनके नाम पर है, जिसमें 1990 के दशक से गणितीय वित्त से नए सिरे से रुचि बढ़ी है।
Key figures
- Paul Levy
- Aleksandr Khinchin
- Kiyosi Ito
- Bruno de Finetti
Related topics
Seminal works
- bertoin1996
- sato1999
Frequently asked questions
- ब्राउनियन गति और पॉइसन प्रक्रिया को क्या एकीकृत करता है?
- दोनों लेवी प्रक्रियाएं हैं, जिनमें स्थिर स्वतंत्र वृद्धि होती है; ब्राउनियन गति सतत गाऊसी मामला है और पॉइसन प्रक्रिया एक शुद्ध-छलांग वाला मामला है, और सामान्य लेवी प्रक्रियाएं बहाव, प्रसार और छलांगों को जोड़ती हैं।
- लेवी माप क्या है?
- यह लेवी-खिंचिन सूत्र में वह माप है जो प्रक्रिया की छलांगों की दर और आकार को निर्दिष्ट करता है, यह नियंत्रित करता है कि प्रत्येक परिमाण की छलांग कितनी बार होती है।