प्रसंभाव्य अवकल समीकरण

एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण एक प्रणाली के विकास का वर्णन करता है जो एक नियतात्मक बहाव और ब्राउनियन गति द्वारा संचालित एक यादृच्छिक उतार-चढ़ाव के अधीन है, जो एक विसरण प्रक्रिया को परिभाषित करता है।

Definition

एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण एक प्रक्रिया के अवकल को एक बहाव गुणांक गुणा समय वृद्धि के रूप में निर्दिष्ट करता है, साथ ही एक विसरण गुणांक गुणा ब्राउनियन वृद्धि, और इसका समाधान एक विसरण प्रक्रिया है जिसका नियम संबंधित द्वितीय-क्रम अवकल संकारक द्वारा नियंत्रित होता है।

Scope

यह विषय प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों की इतो समाकल समीकरणों के रूप में व्याख्या, लिपशिट्ज़ और वृद्धि स्थितियों के तहत प्रबल समाधानों का अस्तित्व और अद्वितीयता, प्रबल और दुर्बल समाधानों के बीच अंतर, विसरण का जनरेटर और फोकर-प्लैंक तथा पश्च कोलमोगोरोव समीकरणों से इसका संबंध, फेनमैन-काक और गिर्सानोव प्रमेय, और यूलर-मारुयामा तथा मिलस्टीन विधियों जैसी संख्यात्मक योजनाओं को शामिल करता है।

Core questions

• एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण को इतो समाकल समीकरण के रूप में कैसे व्याख्या किया जाता है?
• कौन सी शर्तें एक समाधान के अस्तित्व और अद्वितीयता की गारंटी देती हैं?
• विसरण का जनरेटर आंशिक अवकल समीकरणों से कैसे जुड़ा है?
• समाधानों का संख्यात्मक रूप से और किस सटीकता के साथ अनुमान कैसे लगाया जाता है?

Key theories

प्रबल समाधानों का अस्तित्व और अद्वितीयता

बहाव और विसरण गुणांकों की लिपशिट्ज़ निरंतरता और रैखिक वृद्धि के तहत, प्रसंभाव्य अवकल समीकरण का एक अद्वितीय प्रबल समाधान होता है जो एक सतत मार्कोव विसरण है, जिसे इतो आइसोमेट्री का उपयोग करके पिकाई-प्रकार के पुनरावृति द्वारा स्थापित किया गया है।

फेनमैन-काक और जनरेटर

विसरण का अतिसूक्ष्म जनरेटर एक द्वितीय-क्रम दीर्घवृत्तीय संकारक है, इसकी संक्रमण घनत्व फोकर-प्लैंक समीकरण को हल करती है, और फेनमैन-काक सूत्र परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के समाधानों को विसरण के कार्यात्मकताओं की अपेक्षाओं के रूप में प्रस्तुत करता है।

Clinical relevance

प्रसंभाव्य अवकल समीकरण वित्त में परिसंपत्ति की कीमतों, ब्याज दरों और अस्थिरता, भौतिक, रासायनिक और जैविक प्रणालियों की शोर-शराबे वाली गतिशीलता, और पर्यावरणीय यादृच्छिकता के साथ जनसंख्या और महामारी मॉडल का मॉडल बनाते हैं, जबकि यूलर-मारुयामा और संबंधित योजनाओं द्वारा उनका संख्यात्मक समाधान मोंटे कार्लो मूल्य निर्धारण और सिमुलेशन को सक्षम बनाता है।

History

इतो ने 1940 के दशक में प्रसंभाव्य अवकल समीकरणों को प्रस्तुत किया ताकि विसरण प्रक्रियाओं का निर्माण किया जा सके जिनके जनरेटर निर्धारित दीर्घवृत्तीय संकारक हैं, स्ट्रूक और वरधान ने 1960 और 1970 के दशक में मार्टिंगेल समस्या के माध्यम से इस विषय को फिर से परिभाषित किया, और इन समीकरणों का संख्यात्मक विश्लेषण 1990 के दशक में क्लोडेन और प्लेटन द्वारा व्यवस्थित किया गया।

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Daniel Stroock
• Srinivasa Varadhan

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

एक प्रसंभाव्य अवकल समीकरण क्या वर्णन करता है?

यह एक ऐसी प्रक्रिया का वर्णन करता है जो ब्राउनियन गति से अनुमानित बहाव और यादृच्छिक झटकों के तहत चलती है, जिससे एक विसरण उत्पन्न होता है जिसकी संभाव्यता वितरण एक संबंधित आंशिक अवकल समीकरण के अनुसार विकसित होती है।

एक प्रबल और एक दुर्बल समाधान के बीच क्या अंतर है?

एक प्रबल समाधान एक दिए गए ब्राउनियन गति और निस्पंदन पर आधारित होता है, जबकि एक दुर्बल समाधान के लिए केवल कुछ ब्राउनियन गति और निर्धारित नियम के साथ प्रक्रिया के अस्तित्व की आवश्यकता होती है; दुर्बल समाधान तब मौजूद हो सकते हैं जब प्रबल समाधान मौजूद न हों।