सतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ
एक सतत-समय मार्कोव शृंखला यादृच्छिक समय पर असतत अवस्थाओं के एक समुच्चय के बीच चलती है, प्रत्येक अवस्था को एक घातीय रूप से वितरित अवधि के लिए धारण करती है, फिर निश्चित संक्रमण दरों के अनुसार छलांग लगाती है।
Definition
एक सतत-समय मार्कोव शृंखला एक गणनीय अवस्था स्थान पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है जो सतत समय द्वारा अनुक्रमित होती है, जिसकी वर्तमान को देखते हुए भविष्य अतीत से स्वतंत्र होता है, जिसे संक्रमण दरों के एक जनरेटर मैट्रिक्स द्वारा विशेषता दी जाती है ताकि धारण समय घातीय हों और छलांग एक अंतर्निहित शृंखला का पालन करें।
Scope
यह क्षेत्र धारण-समय और जंप-चेन विवरण, अतिसूक्ष्म जनरेटर और संक्रमण दरें, कोलमोगोरोव फॉरवर्ड और बैकवर्ड अंतर समीकरण, स्थिर वितरण और प्रतिवर्तीता, जन्म-मृत्यु प्रक्रियाएँ, और उनकी अंतर्निहित असतत-समय जंप-चेन से शृंखलाओं का निर्माण शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- घातीय धारण समय और जंप प्रायिकताएँ एक सतत-समय शृंखला को कैसे परिभाषित करती हैं?
- जनरेटर मैट्रिक्स क्या है और यह संक्रमण दरों को कैसे एन्कोड करता है?
- कोलमोगोरोव फॉरवर्ड और बैकवर्ड समीकरण संक्रमण प्रायिकताओं के विकास का वर्णन कैसे करते हैं?
- एक सतत-समय शृंखला में स्थिर वितरण कब होता है?
Key theories
- जनरेटर और कोलमोगोरोव समीकरण
- अतिसूक्ष्म जनरेटर तात्कालिक संक्रमण दरों को एकत्र करता है, और संक्रमण प्रायिकता मैट्रिक्स फॉरवर्ड और बैकवर्ड कोलमोगोरोव अंतर समीकरणों को हल करता है, जिससे जनरेटर के मैट्रिक्स घातांक के रूप में समय विकास मिलता है।
- जंप-चेन और धारण-समय निर्माण
- एक सतत-समय शृंखला एक अंतर्निहित असतत-समय जंप-चेन से निर्मित होती है जो क्रमिक अवस्थाओं और स्वतंत्र घातीय धारण समयों का चयन करती है जिनकी दरें वर्तमान अवस्था पर निर्भर करती हैं, यह अलग करती है कि शृंखला कहाँ जाती है और कब चलती है।
Clinical relevance
सतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ कतारबद्ध प्रणालियों, रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्कों, जनसंख्या गतिशीलता, महामारी के प्रसार और बहु-घटक प्रणालियों की विश्वसनीयता का मॉडल बनाती हैं, जो सुगम सतत-समय विवरण प्रदान करती हैं जिनके संतुलन और क्षणिक व्यवहार की गणना जनरेटर से की जा सकती है।
History
कोलमोगोरोव के 1931 के प्रायिकता में विश्लेषणात्मक विधियों पर आधारित पेपर ने संक्रमण प्रायिकताओं को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों को प्रस्तुत किया, और 1930 और 1940 के दशक में फेलर के काम ने सतत-समय शृंखलाओं के निर्माण और विस्फोट व्यवहार को स्पष्ट किया, जिससे आज उपयोग किए जाने वाले जनरेटर-आधारित सिद्धांत की स्थापना हुई।
Key figures
- Andrey Kolmogorov
- William Feller
- Alfred Lotka
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- एक सतत-समय मार्कोव शृंखला एक असतत-समय शृंखला से कैसे भिन्न होती है?
- संक्रमण निश्चित चरणों के बजाय यादृच्छिक सतत समय पर होते हैं; शृंखला प्रत्येक अवस्था को एक घातीय समय के लिए धारण करती है और फिर छलांग लगाती है, जिसकी गतिशीलता एक-चरणीय प्रायिकता मैट्रिक्स के बजाय संक्रमण दरों द्वारा नियंत्रित होती है।
- अतिसूक्ष्म जनरेटर क्या है?
- यह संक्रमण दरों का मैट्रिक्स है जिसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ अवस्थाओं के बीच कूदने की दर देती हैं और जिसकी पंक्तियों का योग शून्य होता है; समय के साथ संक्रमण प्रायिकताएँ जनरेटर के मैट्रिक्स घातांक और व्यतीत समय का गुणनफल होती हैं।