एक मार्टिंगेल कब अभिसरित होता है?

यदि यह L1 में सीमित रहता है, जिसका अर्थ है कि इसका अपेक्षित निरपेक्ष मान समय के साथ सीमित है, तो यह लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है; समान समाकलनीयता (uniform integrability) अतिरिक्त रूप से एक क्लोजिंग वेरिएबल के लिए माध्य में अभिसरण देती है।

अपक्रॉसिंग क्या है?

एक अंतराल का अपक्रॉसिंग वह अवसर है जब मार्टिंगेल निचले अंतिम बिंदु से ऊपर के अंतिम बिंदु तक जाता है; इन क्रॉसिंगों की अपेक्षित संख्या को सीमित करने से अभिसरण सिद्ध होता है।

मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय

मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय यह गारंटी देते हैं कि एक मार्टिंगेल, जो उचित अर्थ में सीमित रहता है, एक सीमित यादृच्छिक चर (random variable) पर स्थिर हो जाता है, जिससे लगभग-निश्चित अभिसरण (almost-sure convergence) का एक बहुमुखी मार्ग मिलता है।

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Definition

मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय ऐसे परिणाम हैं जो बताते हैं कि L1 में सीमित एक मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है और यह कि एक समान रूप से समाकलनीय मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से और L1 में एक यादृच्छिक चर में अभिसरित होता है जो मार्टिंगेल को एक सशर्त अपेक्षा (conditional expectation) के रूप में बंद करता है।

Scope

यह विषय डूब की अपक्रॉसिंग असमानता (upcrossing inequality) और अधिकतम असमानताओं (maximal inequalities), L1-बाउंडेड मार्टिंगेल्स के लगभग-निश्चित अभिसरण, समान रूप से समाकलनीय मार्टिंगेल्स (uniformly integrable martingales) के लिए माध्य में अभिसरण (convergence in mean) और एक क्लोजिंग वेरिएबल (closing variable) की अवधारणा, Lp-बाउंडेड मार्टिंगेल अभिसरण, और पश्चगामी मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय (backward martingale convergence theorem) और बड़े संख्याओं के प्रबल नियम (strong law of large numbers) के लिए इसके अनुप्रयोगों को शामिल करता है।

Core questions

अपक्रॉसिंग असमानता एक सीमित मार्टिंगेल को अभिसरित होने के लिए कैसे मजबूर करती है?
मार्टिंगेल्स के लिए लगभग-निश्चित और माध्य अभिसरण में क्या अंतर है?
समान समाकलनीयता (uniform integrability) क्या जोड़ती है, और क्लोजिंग वेरिएबल क्या है?
पश्चगामी मार्टिंगेल्स बड़े संख्याओं के प्रबल नियम को कैसे उत्पन्न करते हैं?

Key theories

डूब की अपक्रॉसिंग असमानता और L1-सीमित अभिसरण: किसी भी अंतराल को पार करने वाले मार्टिंगेल की अपेक्षित संख्या को सीमित करने से पता चलता है कि यह अनिश्चित काल तक दोलन नहीं कर सकता है, इसलिए एक L1-सीमित मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से एक परिमित सीमा तक अभिसरित होता है।
समान समाकलनीयता और L1 अभिसरण: एक समान रूप से समाकलनीय मार्टिंगेल L1 में और साथ ही लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है, और अपनी सीमा की सशर्त अपेक्षाओं के बराबर होता है, इसलिए इसे एक एकल समाकलनीय यादृच्छिक चर द्वारा बंद किया जाता है, जो कई अनुप्रयोगों के लिए आवश्यक रूप है।

Clinical relevance

मार्टिंगेल अभिसरण बड़े संख्याओं के प्रबल नियम, डेटा जमा होने पर बायेसियन पश्चगामी विश्वासों (Bayesian posterior beliefs) के अभिसरण, लेवी के शून्य-एक नियम (Levy's zero-one law), और ब्रांचिंग-प्रोसेस जनसंख्या आकारों की लगभग-निश्चित सीमाओं (almost-sure limits) के प्रमाणों को रेखांकित करता है, जिससे यह लगभग-निश्चित एसिम्प्टोटिक्स (almost-sure asymptotics) के लिए एक आवर्ती इंजन बन जाता है।

History

डूब ने 1940 के दशक में अभिसरण प्रमेय और अपक्रॉसिंग तर्क (upcrossing argument) की स्थापना की और उन्हें अपनी 1953 की ग्रंथ में प्रस्तुत किया, और समान रूप से समाकलनीय और पश्चगामी संस्करण, लेवी के अधोगामी (downward) और ऊर्ध्वगामी (upward) प्रमेयों के साथ, स्नातक संभाव्यता पाठ्यक्रम के मानक भाग बन गए।

Key figures

Joseph Doob
Paul Levy
David Williams

Seminal works

williams1991

Frequently asked questions

एक मार्टिंगेल कब अभिसरित होता है?: यदि यह L1 में सीमित रहता है, जिसका अर्थ है कि इसका अपेक्षित निरपेक्ष मान समय के साथ सीमित है, तो यह लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है; समान समाकलनीयता (uniform integrability) अतिरिक्त रूप से एक क्लोजिंग वेरिएबल के लिए माध्य में अभिसरण देती है।
अपक्रॉसिंग क्या है?: एक अंतराल का अपक्रॉसिंग वह अवसर है जब मार्टिंगेल निचले अंतिम बिंदु से ऊपर के अंतिम बिंदु तक जाता है; इन क्रॉसिंगों की अपेक्षित संख्या को सीमित करने से अभिसरण सिद्ध होता है।