असतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ
एक असतत-समय मार्कोव शृंखला यादृच्छिक अवस्थाओं का एक अनुक्रम है जो पूर्णांक समय में विकसित होता है, ताकि अगली अवस्था का वितरण केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करे, न कि पूरे अतीत पर।
Definition
एक असतत-समय मार्कोव शृंखला गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित एक गणनीय अवस्था स्थान पर एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जिसकी अगली अवस्था का सशर्त वितरण, पूरे इतिहास को देखते हुए, केवल वर्तमान अवस्था पर निर्भर करता है, जिसे एक-चरणीय संक्रमण संभाव्यता आव्यूह द्वारा एन्कोड किया जाता है।
Scope
यह क्षेत्र मार्कोव गुण और संक्रमण आव्यूह, संचार, पुनरावृत्ति, क्षणभंगुरता और आवधिकता द्वारा अवस्थाओं का वर्गीकरण, स्थिर और सीमित वितरणों का अस्तित्व और अद्वितीयता, अभिसरण और मिश्रण दरें, और मार्कोव शृंखला मोंटे कार्लो और छिपे हुए मार्कोव मॉडल सहित प्रमुख अनुप्रयोगों को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- मार्कोव गुण का क्या अर्थ है और इसे संक्रमण आव्यूह द्वारा कैसे दर्शाया जाता है?
- अवस्थाओं को पुनरावर्ती, क्षणभंगुर और आवधिक वर्गों में कैसे वर्गीकृत किया जाता है?
- एक शृंखला में अद्वितीय स्थिर वितरण कब होता है और यह उस पर कब अभिसरित होती है?
- एक शृंखला संतुलन तक कितनी तेजी से पहुँचती है, और सिमुलेशन में इसका कैसे उपयोग किया जाता है?
Key theories
- मार्कोव गुण और चैपमैन-कोलमोगोरोव समीकरण
- वर्तमान को देखते हुए भविष्य अतीत से सशर्त रूप से स्वतंत्र है, इसलिए बहु-चरणीय संक्रमण संभावनाएँ संक्रमण आव्यूह को गुणा करके प्राप्त की जाती हैं, जो एक-चरणीय आव्यूह से n-चरणीय व्यवहार को गणना योग्य बनाती हैं।
- मार्कोव शृंखलाओं के लिए एर्गोडिक प्रमेय
- एक अपरिवर्तनीय, अनावधिक, धनात्मक-पुनरावर्ती शृंखला में एक अद्वितीय स्थिर वितरण होता है जिस पर सीमांत वितरण अभिसरित होता है और जिसके विरुद्ध फलनों के समय औसत लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होते हैं, जो दीर्घकालिक आवृत्तियों को स्थिर नियम से जोड़ता है।
Clinical relevance
असतत-समय मार्कोव शृंखलाएँ यादृच्छिक चाल, कतारबद्ध स्नैपशॉट, जनसंख्या आनुवंशिकी, पेज रैंक जैसे रैंकिंग एल्गोरिदम और आर्थिक अवस्था संक्रमणों का मॉडल बनाती हैं; उनका अभिसरण सिद्धांत मार्कोव शृंखला मोंटे कार्लो का आधार है, जो सांख्यिकी, भौतिकी और मशीन लर्निंग में जटिल संभाव्यता वितरणों से नमूना लेने के लिए प्रमुख कम्प्यूटेशनल विधि है।
History
आंद्रे मार्कोव ने 1906 में निर्भर लेकिन स्मृतिहीन संक्रमणों वाली शृंखलाओं को स्वतंत्रता से परे बड़ी संख्याओं के नियम का विस्तार करने के लिए प्रस्तुत किया, उन्हें पुश्किन की कविता में अक्षर अनुक्रमों के साथ चित्रित किया। कोलमोगोरोव और डोएब्लिन ने 1930 के दशक में अभिसरण सिद्धांत को कठोर माप-सैद्धांतिक नींव पर रखा।
Key figures
- Andrey Markov
- Andrey Kolmogorov
- Wolfgang Doeblin
Related topics
Seminal works
- norris1997
Frequently asked questions
- कौन सी चीज़ एक प्रक्रिया को मार्कोव शृंखला बनाती है?
- मार्कोव गुण: वर्तमान अवस्था को देखते हुए, भविष्य का विकास इस बात से स्वतंत्र होता है कि शृंखला उस अवस्था तक कैसे पहुँची, इसलिए पूरी गतिशीलता को एक-चरणीय संक्रमण संभावनाओं द्वारा वर्णित किया जाता है।
- एक मार्कोव शृंखला अद्वितीय दीर्घकालिक वितरण पर कब अभिसरित होती है?
- जब यह अपरिवर्तनीय, अनावधिक और धनात्मक पुनरावर्ती होती है; तब एक एकल स्थिर वितरण होता है जिस पर शृंखला अपनी प्रारंभिक अवस्था की परवाह किए बिना अभिसरित होती है।