रुकने का समय और वैकल्पिक रुकना
रुकने का समय एक यादृच्छिक समय होता है जिसकी जानकारी अब तक उपलब्ध जानकारी से पहचानी जा सकती है, और वैकल्पिक रुकने का प्रमेय कहता है कि ऐसे समय पर रोका गया एक निष्पक्ष खेल निष्पक्ष ही रहता है, यह एक आश्चर्यजनक पहुँच का सिद्धांत है।
Definition
रुकने का समय एक यादृच्छिक समय होता है जिस पर रुकने का निर्णय केवल उस समय तक उपलब्ध जानकारी पर निर्भर करता है, और वैकल्पिक रुकने का प्रमेय बताता है कि, उपयुक्त शर्तों के तहत, रुकने के समय पर मूल्यांकन किए गए मार्टिंगेल (martingale) का अपेक्षित मान उसके प्रारंभिक अपेक्षित मान के बराबर होता है।
Scope
इस विषय में एक निस्पंदन (filtration) के सापेक्ष रुकने के समय की परिभाषा और रुकने के समय से ज्ञात घटनाओं का सिग्मा-बीजगणित (sigma-algebra), रुकी हुई प्रक्रिया (stopped process), वैकल्पिक रुकने और वैकल्पिक नमूनाकरण (optional sampling) के प्रमेय, उनके लिए आवश्यक समाकलनीयता (integrability) और परिबद्धता (boundedness) की शर्तें, यादृच्छिक समय पर रोके गए योगों के लिए वाल्ड की पहचान (Wald's identities), और जुआरी के विनाश (gambler's ruin), हिटिंग प्रायिकता (hitting probabilities), और अपेक्षित हिटिंग समय (expected hitting times) के अनुप्रयोग शामिल हैं।
Core questions
- एक यादृच्छिक समय को रुकने का समय क्या बनाता है, और यह अंतर क्यों मायने रखता है?
- किन परिस्थितियों में मार्टिंगेल को रोकने से उसका अपेक्षित मान संरक्षित रहता है?
- समाकलनीयता या परिबद्धता की धारणाओं के बिना वैकल्पिक रुकने का प्रमेय क्यों विफल हो सकता है?
- रुकने का समय हिटिंग प्रायिकता और अपेक्षित अवधि कैसे उत्पन्न करता है?
Key concepts
- रुकने का समय
- रुकी हुई प्रक्रिया
- वैकल्पिक नमूनाकरण
- वाल्ड की पहचान
- जुआरी का विनाश
Key theories
- वैकल्पिक रुकने का प्रमेय
- यदि रुकने का समय परिबद्ध है, या रुका हुआ मार्टिंगेल समान रूप से समाकलनीय है, या समय का परिबद्ध वृद्धि के साथ परिमित माध्य है, तो रुकने के समय पर मार्टिंगेल का अपेक्षित मान उसके प्रारंभिक मान के बराबर होता है, यह वह सटीक अर्थ है जिसमें एक निष्पक्ष खेल को चतुर छोड़ने के नियमों द्वारा शोषण नहीं किया जा सकता है।
- वाल्ड की पहचान
- परिमित माध्य के रुकने के समय पर रोके गए स्वतंत्र समान रूप से वितरित चरों के योग के लिए, अपेक्षित योग माध्य गुणा अपेक्षित रुकने के समय के बराबर होता है, और विचरण के लिए एक संगत पहचान लागू होती है, ये परिणाम मार्टिंगेल वैकल्पिक रुकने द्वारा प्राप्त किए जाते हैं।
Clinical relevance
वैकल्पिक रुकना जुए और बीमा में विनाश की प्रायिकता और अपेक्षित खेलने के समय की गणना के लिए, वाल्ड के अनुक्रमिक प्रायिकता अनुपात परीक्षण (Wald's sequential probability ratio test) की त्रुटि प्रायिकता और अपेक्षित नमूना आकार के लिए, और कतारबद्धता (queueing), विश्वसनीयता (reliability), और अमेरिकी-शैली के वित्तीय विकल्पों के मूल्य निर्धारण में प्रथम-मार्ग गणना (first-passage calculations) के लिए विश्लेषणात्मक इंजन है।
History
डूब (Doob) ने मार्टिंगेल्स के लिए वैकल्पिक नमूनाकरण प्रमेय तैयार किए, और वाल्ड (Wald), जो 1940 के दशक के दौरान अनुक्रमिक विश्लेषण पर काम कर रहे थे, ने यादृच्छिक रूप से रोके गए योगों के लिए पहचान व्युत्पन्न की जिसे मार्टिंगेल ढांचे ने बाद में एकीकृत और समझाया।
Key figures
- Joseph L. Doob
- Abraham Wald
- David Williams
Related topics
Seminal works
- williams1991
Frequently asked questions
- रुकने के समय को पिछली जानकारी से पहचानने योग्य क्यों होना चाहिए?
- यदि कोई भविष्य के आधार पर रुक सकता, तो कोई एक निष्पक्ष खेल को ठीक अनुकूल क्षणों पर छोड़ सकता था और व्यवस्थित रूप से जीत सकता था; यह आवश्यकता कि रुकने का निर्णय केवल वर्तमान तक की जानकारी का उपयोग करे, ठीक वही है जो वैकल्पिक रुकने को ईमानदार रखता है।
- वैकल्पिक रुकने का प्रमेय कब विफल होता है?
- यह तब विफल हो सकता है जब रुकने का समय अपरिबद्ध हो और मार्टिंगेल समान रूप से समाकलनीय न हो, जैसा कि एक अप्रतिबंधित सरल यादृच्छिक चाल में होता है जहां एक सकारात्मक स्तर पर पहली यात्रा पर रुकने से शुरुआत से अलग अपेक्षित मान मिलता है।