मार्टिंगेल्स और स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन

सतत-समय मार्टिंगेल्स, अपने द्विघात विचरण और अनुमानित तथा मार्टिंगेल भागों में अपघटन के साथ, वे इंटीग्रेटर हैं जिनके विरुद्ध स्टोकेस्टिक इंटीग्रल निर्मित होते हैं।

Definition

सतत समय में एक मार्टिंगेल एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके सशर्त अपेक्षित वृद्धि शून्य हो जाती है; इसका द्विघात विचरण संचित उतार-चढ़ाव को मापता है, डूब-मेयर अपघटन सबमार्टिंगेल्स को एक अनुमानित बढ़ती हुई भाग और एक मार्टिंगेल में विभाजित करता है, और ये संरचनाएं सेमीमार्टिंगेल्स के विरुद्ध स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन को परिभाषित करती हैं।

Scope

यह विषय सतत-समय मार्टिंगेल्स और स्थानीय मार्टिंगेल्स, सबमार्टिंगेल्स का डूब-मेयर अपघटन, द्विघात विचरण और ब्रैकेट प्रक्रिया, इंटीग्रेटरों के सबसे बड़े प्राकृतिक वर्ग के रूप में सेमीमार्टिंगेल्स, एक मार्टिंगेल के विरुद्ध स्टोकेस्टिक इंटीग्रल का निर्माण, और ब्राउनियन मार्टिंगेल्स को स्टोकेस्टिक इंटीग्रल के रूप में व्यक्त करने वाला मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय को शामिल करता है।

Core questions

• सतत-समय मार्टिंगेल्स और स्थानीय मार्टिंगेल्स असतत मामले को कैसे सामान्यीकृत करते हैं?
• द्विघात विचरण क्या है और यह स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन के लिए क्यों केंद्रीय है?
• डूब-मेयर अपघटन एक प्रक्रिया के मार्टिंगेल भाग की पहचान कैसे करता है?
• सेमीमार्टिंगेल्स इंटीग्रेटरों का प्राकृतिक वर्ग क्यों हैं, और मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व क्या देता है?

Key theories

डूब-मेयर अपघटन और द्विघात विचरण

एक सबमार्टिंगेल विशिष्ट रूप से एक स्थानीय मार्टिंगेल प्लस एक अनुमानित बढ़ती हुई प्रक्रिया में विघटित होता है, और एक सतत स्थानीय मार्टिंगेल का द्विघात विचरण वह अनुमानित प्रक्रिया है जिसका घटाव उसके वर्ग को एक मार्टिंगेल बनाता है, जो स्टोकेस्टिक इंटीग्रल के लिए विचरण माप प्रदान करता है।

स्टोकेस्टिक इंटीग्रल और मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व

एक वर्ग-अभिन्न मार्टिंगेल के विरुद्ध एक अनुमानित प्रक्रिया का स्टोकेस्टिक इंटीग्रल स्वयं एक गणना योग्य द्विघात विचरण के साथ एक मार्टिंगेल है, और मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय दर्शाता है कि प्रत्येक ब्राउनियन मार्टिंगेल ऐसा एक इंटीग्रल है, जो वित्त में हेजिंग का आधार है।

Clinical relevance

मार्टिंगेल-आधारित स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन इतो इंटीग्रल और स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरणों, फ़िल्टरिंग सिद्धांत, और गणितीय वित्त में मध्यस्थता-मुक्त मूल्य निर्धारण और हेजिंग का गणितीय आधार है, जहाँ मार्टिंगेल प्रतिनिधित्व प्रमेय व्युत्पन्न प्रतिभूतियों के लिए प्रतिकृति रणनीतियाँ प्रदान करता है।

History

डूब ने उस अपघटन का अनुमान लगाया जिसे मेयर ने 1962 में सिद्ध किया था, मेयर के नेतृत्व में स्ट्रासबर्ग स्कूल ने 1960 और 1970 के दशक में सेमीमार्टिंगेल्स और स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन का सामान्य सिद्धांत विकसित किया, और कुनिता और वतनबे के वर्ग-अभिन्न मार्टिंगेल्स पर काम ने सामान्य मार्टिंगेल इंटीग्रेटरों के विरुद्ध इंटीग्रल को एकीकृत किया।

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

सामान्य कार्यों के बजाय मार्टिंगेल्स के विरुद्ध इंटीग्रेट क्यों करें?

मार्टिंगेल पथ सामान्य अर्थों में इंटीग्रेट करने के लिए बहुत अनियमित होते हैं, लेकिन उनका नियंत्रित उतार-चढ़ाव, द्विघात विचरण द्वारा मापा जाता है, एक संभाव्य इंटीग्रल की अनुमति देता है जो स्वयं एक मार्टिंगेल है और स्टोकेस्टिक कैलकुलस का आधार है।

द्विघात विचरण क्या है?

यह महीन विभाजनों पर एक प्रक्रिया की योगित वर्ग वृद्धि की सीमा है; मार्टिंगेल पथों के लिए यह सामान्यतः गैर-शून्य होता है और स्टोकेस्टिक इंटीग्रेशन के लिए प्राकृतिक विचरण घड़ी के रूप में कार्य करता है।