मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय

डूब के अभिसरण प्रमेय दर्शाते हैं कि एक मार्टिंगेल जो बहुत अधिक उतार-चढ़ाव नहीं करता है, लगभग निश्चित रूप से एक सीमा तक स्थिर हो जाता है, जो यह सिद्ध करने का एक शक्तिशाली और बहुत सामान्य तरीका है कि यादृच्छिक अनुक्रम अभिसरित होते हैं।

Definition

मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय वे परिणाम हैं जो बताते हैं कि प्रथम माध्य में परिबद्ध एक मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होता है, और यह कि एकसमान समाकलनीयता के तहत यह प्रथम माध्य में अभिसरित होता है और अपनी सीमा की सशर्त अपेक्षाओं के बराबर होता है।

Scope

इस विषय में डूब की अपक्रॉसिंग असमानता और प्रथम माध्य में परिबद्ध प्रक्रियाओं के लिए लगभग-निश्चित मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय, प्रथम माध्य में अभिसरण को उन्नत करने और मार्टिंगेल को उसकी सीमा से बंद करने में एकसमान समाकलनीयता की भूमिका, एक से अधिक p के लिए p-वें माध्य में अभिसरण, और लेवी के ऊर्ध्वगामी और अधोगामी अभिसरण प्रमेय शामिल हैं, जिसमें शून्य-एक नियम एक परिणाम के रूप में है।

Core questions

• प्रथम माध्य में परिबद्धता एक मार्टिंगेल को लगभग निश्चित रूप से अभिसरित होने के लिए क्यों मजबूर करती है?
• कौन सी अतिरिक्त शर्त माध्य में अभिसरण और एक समापन सीमा चर देती है?
• लेवी का प्रमेय एक फिल्ट्रेशन के साथ सशर्त अपेक्षाओं की सीमा का वर्णन कैसे करता है?
• ये प्रमेय शून्य-एक नियम और अन्य अभिसरण परिणाम कैसे उत्पन्न करते हैं?

Key concepts

• अपक्रॉसिंग असमानता
• लगभग-निश्चित अभिसरण
• एकसमान समाकलनीयता
• बंद मार्टिंगेल
• लेवी शून्य-एक नियम

Key theories

डूब का मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय

एक मार्टिंगेल जिसके प्रथम निरपेक्ष क्षण परिबद्ध होते हैं, लगभग निश्चित रूप से एक परिमित सीमा तक अभिसरित होता है, जिसे अपक्रॉसिंग असमानता के माध्यम से सिद्ध किया जाता है जो यह सीमित करता है कि प्रक्रिया कितनी बार किसी भी अंतराल को पार कर सकती है, जिससे न्यूनतम परिकल्पनाओं के तहत अभिसरण होता है।

एकसमान समाकलनीयता और माध्य में अभिसरण

एक एकसमान समाकलनीय मार्टिंगेल लगभग निश्चित रूप से और प्रथम माध्य में दोनों में अभिसरित होता है और अपनी सीमा से बंद होता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक पद उस सीमा की सशर्त अपेक्षा है जो संबंधित जानकारी को देखते हुए है, जो अच्छी तरह से व्यवहार किए गए मार्टिंगेल की विशेषता है।

लेवी के ऊर्ध्वगामी और अधोगामी प्रमेय

एक निश्चित समाकलनीय चर की सशर्त अपेक्षाएं, सिग्मा-बीजगणित के बढ़ते या घटते परिवार को देखते हुए, लगभग निश्चित रूप से और माध्य में सीमांत सिग्मा-बीजगणित को देखते हुए सशर्त अपेक्षा तक अभिसरित होती हैं, जिसमें कोलमोगोरोव का शून्य-एक नियम एक विशेष मामला है।

Clinical relevance

मार्टिंगेल अभिसरण डेटा के संचय के साथ बायेसियन पश्चगामी की संगति, स्टोकेस्टिक सन्निकटन और ऑनलाइन शिक्षण एल्गोरिदम के लगभग-निश्चित अभिसरण, प्रतिलोमित मार्टिंगेल के माध्यम से बड़ी संख्याओं का प्रबल नियम, और अनुक्रमिक परीक्षण और मॉडल चयन को नियंत्रित करने वाले संभावना अनुपातों के अभिसरण को रेखांकित करता है।

History

डूब ने 1940 के दशक में लगभग-निश्चित अभिसरण प्रमेय को सिद्ध किया और अपक्रॉसिंग तर्क प्रस्तुत किया, और लेवी ने पहले एक फिल्ट्रेशन के साथ सशर्त अपेक्षाओं के अभिसरण को स्थापित किया था; साथ मिलकर ये आधुनिक ग्रंथों में प्रस्तुत मार्टिंगेल सिद्धांत की अभिसरण रीढ़ बन गए।

Key figures

• Joseph L. Doob
• Paul Levy
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

क्या एक मार्टिंगेल का लगभग-निश्चित अभिसरण उसके माध्य के अभिसरण को दर्शाता है?

अपने आप में नहीं; लगभग-निश्चित अभिसरण प्रथम माध्य में परिबद्धता से आता है, लेकिन अपेक्षाओं का अभिसरण और समापन गुण के लिए एकसमान समाकलनीयता की प्रबल शर्त की आवश्यकता होती है।

अपक्रॉसिंग असमानता क्या है?

यह एक मार्टिंगेल द्वारा एक निश्चित अंतराल पर ऊपर की ओर पार करने की अपेक्षित संख्या को उसके वर्तमान आकार के संदर्भ में सीमित करता है; चूंकि एक गैर-अभिसारी परिबद्ध अनुक्रम को किसी अंतराल पर अनंत बार दोलन करना होगा, यह सीमा लगभग-निश्चित अभिसरण को मजबूर करती है।