Mouvement brownien et calcul stochastique
Le mouvement brownien est le processus aléatoire canonique à temps continu, et le calcul d'Ito, qui en est issu, fournit les règles de différenciation et d'intégration le long de ses trajectoires irrégulières et nulle part différentiables, constituant le langage de la modélisation stochastique moderne.
Definition
Le mouvement brownien est un processus à trajectoires continues avec des accroissements gaussiens stationnaires et indépendants, et le calcul stochastique est la théorie de l'intégration et de la différenciation par rapport à ce processus et aux martingales continues associées, centrée sur l'intégrale d'Ito et la formule d'Ito.
Scope
Ce domaine couvre la construction et les propriétés des trajectoires du mouvement brownien, ses caractérisations en tant que martingale et processus de Markov, l'intégrale stochastique d'Ito par rapport au mouvement brownien et aux martingales continues, la formule d'Ito en tant que règle de dérivation en chaîne du calcul stochastique, les équations différentielles stochastiques ainsi que leur théorie d'existence et d'unicité, et les liens avec les équations aux dérivées partielles via la formule de Feynman-Kac.
Sub-topics
Core questions
- Comment le mouvement brownien est-il construit, et quelles sont les propriétés remarquables de ses trajectoires ?
- Comment peut-on intégrer par rapport à un processus dont les trajectoires ont une variation non bornée ?
- Qu'est-ce qui remplace la règle de dérivation en chaîne ordinaire lorsque l'intégrateur est le mouvement brownien ?
- Comment les équations différentielles stochastiques sont-elles définies et résolues ?
Key theories
- Intégrale et formule d'Ito
- L'intégrale d'Ito définit l'intégration par rapport au mouvement brownien en utilisant sa variation quadratique, et la formule d'Ito est la règle de dérivation en chaîne qui en découle, laquelle comporte un terme supplémentaire de second ordre reflétant que la variation quadratique s'accumule linéairement dans le temps.
- Équations différentielles stochastiques et Feynman-Kac
- Les équations différentielles stochastiques pilotées par le mouvement brownien possèdent des solutions fortes uniques sous des conditions de Lipschitz et de croissance, et la formule de Feynman-Kac représente les solutions des équations aux dérivées partielles paraboliques associées comme des espérances sur ces diffusions.
Clinical relevance
Le calcul stochastique constitue le fondement mathématique de la finance en temps continu, où le modèle de Black-Scholes évalue les options via un processus d'Ito, et il est omniprésent en physique, où il décrit la diffusion et le bruit, en ingénierie, où il est à la base du filtrage et du contrôle stochastique, et en biologie, où il modélise la dynamique des populations et neuronale sous l'effet de l'aléatoire.
History
Le mouvement brownien a été observé par Robert Brown, modélisé physiquement par Einstein et Smoluchowski, et construit rigoureusement par Norbert Wiener en 1923. Kiyosi Ito a créé l'intégrale stochastique et la formule d'Ito dans les années 1940, fondant ainsi le calcul stochastique, qui est ensuite devenu indispensable à la finance mathématique.
Key figures
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
- Paul Levy
- Mark Kac
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
- revuz1999
Frequently asked questions
- Pourquoi le calcul ordinaire ne peut-il pas être utilisé avec le mouvement brownien ?
- Les trajectoires browniennes sont continues mais nulle part différentiables et ont une variation infinie, de sorte que l'intégrale de Riemann-Stieltjes et la règle de dérivation en chaîne habituelles ne s'appliquent pas ; le calcul d'Ito les remplace par des constructions basées sur la variation quadratique finie des trajectoires.
- Quel est le terme supplémentaire dans la formule d'Ito ?
- Étant donné que les accroissements au carré du mouvement brownien s'accumulent à un taux défini plutôt que de s'annuler, la règle de dérivation en chaîne stochastique inclut un terme de dérivée seconde proportionnel au temps écoulé, qui n'a pas d'analogue dans le calcul ordinaire.