Mouvement brownien

Le mouvement brownien, ou processus de Wiener, est la marche aléatoire en temps continu qui émerge comme la limite d'échelle d'innombrables petits pas indépendants ; ses trajectoires sont continues partout mais différentiables nulle part.

Definition

Le mouvement brownien est un processus stochastique à valeurs réelles partant de zéro, avec des trajectoires d'échantillon continues dont les accroissements sur des intervalles disjoints sont indépendants et distribués normalement avec une moyenne nulle et une variance égale à la longueur de l'intervalle.

Scope

Le sujet couvre les propriétés définissant le mouvement brownien en tant que processus à trajectoires continues, à accroissements stationnaires indépendants et à distributions gaussiennes, son existence via la construction de Wiener et le principe d'invariance de Donsker, les propriétés de trajectoire de continuité, de non-différentiabilité et de variation quadratique, la propriété de Markov forte et le principe de réflexion, la loi du logarithme itéré, et le rôle du mouvement brownien en tant que martingale continue et processus gaussien.

Core questions

• Quelles propriétés caractérisent de manière unique le mouvement brownien parmi les processus stochastiques ?
• Comment l'existence d'un processus avec des trajectoires browniennes continues est-elle établie ?
• Quelles sont les propriétés analytiques remarquables des trajectoires browniennes ?
• Comment le principe de réflexion permet-il d'obtenir la distribution du maximum et des temps d'atteinte ?

Key concepts

• Processus de Wiener
• Accroissements gaussiens indépendants
• Trajectoires non différentiables
• Variation quadratique
• Principe de réflexion

Key theories

Principe d'invariance de Donsker

Les marches aléatoires rééchelonnées de manière appropriée convergent en distribution vers le mouvement brownien dans l'espace des trajectoires continues, le théorème central limite fonctionnel qui explique l'universalité du mouvement brownien comme la limite d'effets indépendants petits et sommés.

Propriétés des trajectoires et principe de réflexion

Les trajectoires browniennes sont presque sûrement continues, non différentiables et de variation quadratique égale au temps écoulé, et le principe de réflexion utilise la propriété de Markov forte pour donner les distributions du maximum courant et des temps de premier passage sous forme fermée.

Clinical relevance

Le mouvement brownien modélise la diffusion de particules en physique et en chimie, l'évolution bruyante des prix des actifs dans la théorie financière de Black-Scholes, le bruit thermique et électronique en ingénierie, et la propagation aléatoire de polluants ou de gènes ; il constitue également le bloc de construction à partir duquel des diffusions plus générales et des intégrales stochastiques sont construites.

History

Robert Brown a observé le mouvement erratique des grains de pollen en 1827, et Einstein et Smoluchowski l'ont expliqué physiquement en 1905 et 1906. Norbert Wiener a fourni la construction mathématique rigoureuse en 1923, et Levy et d'autres ont développé la théorie détaillée de ses trajectoires.

Key figures

• Robert Brown
• Albert Einstein
• Norbert Wiener
• Paul Levy

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Pourquoi les trajectoires browniennes sont-elles continues mais non différentiables ?

Sur tout petit intervalle, l'accroissement est de l'ordre de la racine carrée de la longueur de l'intervalle, ce qui maintient la trajectoire continue mais fait diverger les quotients différentiels, de sorte qu'aucune dérivée n'existe en aucun point.

Comment le mouvement brownien est-il lié à la marche aléatoire ?

Le mouvement brownien est la limite d'échelle d'une marche aléatoire : si une marche aléatoire simple est accélérée dans le temps et contractée dans l'espace à des taux correspondants, sa trajectoire converge vers le mouvement brownien, comme le précise le principe d'invariance de Donsker.