Mouvement brownien et calcul stochastique
Le mouvement brownien est un processus aléatoire continu dont les accroissements sont indépendants et gaussiens ; le calcul stochastique qui en découle fournit les règles d'intégration et de différentiation le long de ses trajectoires erratiques.
Definition
Le mouvement brownien est un processus à temps continu avec des accroissements gaussiens stationnaires indépendants et des trajectoires continues nulle part différentiables, et le calcul stochastique est la théorie de l'intégration et de la différentiation par rapport à de tels processus, centrée sur l'intégrale d'Ito et la formule de changement de variables d'Ito.
Scope
Ce domaine couvre le processus de Wiener et les propriétés de ses trajectoires, l'intégrale stochastique d'Ito et la formule d'Ito, les équations différentielles stochastiques et les processus de diffusion, le lien avec les équations aux dérivées partielles via Feynman-Kac et l'équation de Fokker-Planck, le changement de mesure de Girsanov, et l'extension aux processus de Lévy avec sauts.
Sub-topics
Core questions
- Quelles propriétés caractérisent le mouvement brownien et rendent ses trajectoires si irrégulières ?
- Comment l'intégration est-elle définie par rapport au mouvement brownien malgré sa variation infinie ?
- Qu'est-ce que la formule d'Ito et comment remplace-t-elle la règle de la chaîne ordinaire ?
- Comment les équations différentielles stochastiques et les processus de Lévy étendent-ils le cadre ?
Key theories
- Intégrale d'Ito et formule d'Ito
- L'intégrale d'Ito définit l'intégration par rapport au mouvement brownien en exploitant la propriété de martingale et la variation quadratique qui est égale au temps écoulé, et la formule d'Ito fournit une règle de changement de variables avec un terme supplémentaire de dérivée seconde reflétant cette variation.
- Diffusions et le lien avec les équations aux dérivées partielles
- Les solutions des équations différentielles stochastiques sont des diffusions de Markov dont les densités de transition résolvent les équations de Fokker-Planck et de Kolmogorov rétrograde, et la formule de Feynman-Kac représente les solutions des équations paraboliques comme des espérances sur les trajectoires de diffusion.
Clinical relevance
Le mouvement brownien et le calcul stochastique modélisent la diffusion des particules et de la chaleur, la fluctuation aléatoire des prix des actifs dans la théorie de Black-Scholes sur la tarification des options, le bruit dans les systèmes physiques et d'ingénierie, et le filtrage des signaux bruyants, les rendant indispensables en physique, en finance et en contrôle.
History
Brown a observé le mouvement erratique des grains de pollen en 1827, Einstein et Smoluchowski ont formulé sa théorie physique vers 1905, Bachelier l'avait déjà utilisé pour la finance en 1900, Wiener l'a construit rigoureusement en 1923, et Ito a créé le calcul stochastique dans les années 1940, le transformant en un outil de calcul.
Key figures
- Robert Brown
- Albert Einstein
- Norbert Wiener
- Kiyosi Ito
Related topics
Seminal works
- oksendal2003
- karatzasShreve1991
Frequently asked questions
- Pourquoi le calcul ordinaire ne peut-il pas être utilisé pour le mouvement brownien ?
- Les trajectoires browniennes ont une variation totale infinie et ne sont nulle part différentiables, de sorte que les intégrales ordinaires et la règle de la chaîne classique échouent ; le calcul stochastique d'Ito fournit des substituts qui tiennent compte de la variation quadratique.
- Qu'est-ce que la formule d'Ito ?
- C'est l'analogue stochastique de la règle de la chaîne pour les fonctions du mouvement brownien ou des diffusions, incluant un terme additionnel impliquant la dérivée seconde qui découle de la variation quadratique non nulle des trajectoires.