Calcul d'Itô et intégration stochastique

Le calcul d'Itô étend l'intégration et la différenciation aux processus régis par le mouvement brownien, en remplaçant la règle de la chaîne ordinaire par la formule d'Itô, laquelle comporte un terme supplémentaire issu de la variation quadratique.

Definition

L'intégrale d'Itô est l'intégrale stochastique d'un processus prévisible par rapport au mouvement brownien, définie de manière à être une martingale dont la variance est donnée par l'isométrie d'Itô, et la formule d'Itô est la règle de changement de variables résultante qui ajoute un terme de dérivée seconde reflétant la variation quadratique de l'intégrateur.

Scope

Ce sujet aborde la construction de l'intégrale d'Itô comme limite de sommes de Riemann avec points d'évaluation à gauche par rapport au mouvement brownien, l'isométrie d'Itô, la propriété de martingale de l'intégrale, la formule d'Itô pour les fonctions de diffusions, les règles multidimensionnelles et de produit, la comparaison avec l'intégrale de Stratonovitch, et le calcul de la variation quadratique qui distingue l'intégration stochastique de l'intégration ordinaire.

Core questions

• Comment l'intégrale d'Itô est-elle construite et pourquoi les points d'évaluation à gauche doivent-ils être utilisés ?
• Qu'est-ce que l'isométrie d'Itô et comment contrôle-t-elle la variance de l'intégrale ?
• Quel terme supplémentaire distingue la formule d'Itô de la règle de la chaîne ordinaire ?
• En quoi l'intégrale d'Itô diffère-t-elle de l'intégrale de Stratonovitch ?

Key theories

Intégrale d'Itô et isométrie d'Itô

Définir l'intégrale avec des évaluations aux points d'extrémité gauches en fait une martingale, et l'isométrie d'Itô égalise l'intégrale carrée attendue avec l'intégrale attendue de l'intégrand au carré, conférant à l'intégrale sa structure L2 et sa stabilité.

Formule d'Itô

Pour une fonction lisse d'une diffusion, la formule d'Itô exprime la différentielle comme le terme de gradient habituel plus une correction impliquant la dérivée seconde et la variation quadratique, la règle qui rend le calcul stochastique calculable et produit l'équation de Black-Scholes.

Clinical relevance

Le calcul d'Itô est le langage de travail de la finance mathématique, où la formule d'Itô permet de dériver l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes et les stratégies de couverture, ainsi que du contrôle stochastique, du filtrage et de la physique, partout où les systèmes sont modélisés comme étant régis par un bruit blanc gaussien.

History

Itô a introduit l'intégrale stochastique et sa formule de changement de variables dans des articles de 1944 et 1951 pour construire des processus de diffusion, Stratonovitch et Fisk ont ensuite proposé une intégrale alternative obéissant à la règle de la chaîne ordinaire, et les deux formulations ont été réconciliées à mesure que la théorie mûrissait grâce aux travaux de McKean, Meyer et d'autres.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

Pourquoi la formule d'Itô comporte-t-elle un terme supplémentaire ?

Parce que le mouvement brownien a une variation quadratique non nulle, le terme de second ordre dans un développement de Taylor ne s'annule pas à la limite, ajoutant une correction de la moitié de la dérivée seconde absente du calcul ordinaire.

Quelle est la différence entre les intégrales d'Itô et de Stratonovitch ?

L'intégrale d'Itô évalue l'intégrand au point d'extrémité gauche et est une martingale, tandis que l'intégrale de Stratonovitch utilise le point médian et obéit à la règle de la chaîne ordinaire ; elles diffèrent par un terme correctif et conviennent à des applications différentes.