Formule d'Ito
La formule d'Ito est la règle de la chaîne du calcul stochastique : lorsqu'une fonction lisse est appliquée à un processus d'Ito, la différentielle inclut non seulement les termes usuels du premier ordre, mais aussi un terme supplémentaire du second ordre, dû à la variation quadratique.
Definition
La formule d'Ito exprime la différentielle stochastique d'une fonction lisse d'un processus d'Ito comme la somme des termes de la règle de la chaîne ordinaire et d'un terme additionnel impliquant la dérivée seconde et la variation quadratique du processus.
Scope
Ce sujet aborde l'énoncé de la formule d'Ito pour les fonctions du mouvement brownien et des processus d'Ito généraux, la version multidimensionnelle avec des termes de covariation, la formule pour les semi-martingales continues, et ses principales conséquences, notamment l'intégration par parties, la dérivation de l'équation de Black-Scholes, la représentation de Feynman-Kac et le théorème de Girsanov sur le changement de mesure.
Core questions
- Pourquoi la règle de la chaîne stochastique inclut-elle un terme du second ordre absent du calcul ordinaire ?
- Comment la formule d'Ito s'étend-elle à plusieurs processus et aux semi-martingales générales ?
- Comment conduit-elle aux équations aux dérivées partielles régissant les diffusions ?
- Comment les résultats de changement de mesure, tels que le théorème de Girsanov, en découlent-ils ?
Key concepts
- règle de la chaîne stochastique
- correction par la variation quadratique
- intégration par parties
- formule de Feynman-Kac
- théorème de Girsanov
Key theories
- Formule d'Ito
- Pour une fonction deux fois différentiable d'un processus d'Ito, la différentielle est égale à la première dérivée multipliée par la différentielle du processus, plus la moitié de la seconde dérivée multipliée par la variation quadratique, le terme correctif apparaissant parce que les accroissements browniens au carré s'accumulent à un taux défini.
- Conséquences de Feynman-Kac et Girsanov
- L'application de la formule d'Ito conduit à la représentation de Feynman-Kac des solutions d'équations aux dérivées partielles paraboliques comme des espérances sur des diffusions, et au théorème de Girsanov décrivant comment le mouvement brownien se transforme sous un changement équivalent de mesure de probabilité.
Clinical relevance
La formule d'Ito est l'outil de calcul fondamental de la modélisation stochastique : elle permet de produire l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes et les formules d'évaluation des options en finance, de dériver les équations du filtrage et du contrôle stochastiques, et de relier les processus de diffusion aux équations aux dérivées partielles de la physique via la représentation de Feynman-Kac.
History
Ito a démontré sa formule dans les années 1940, posant ainsi la pierre angulaire du nouveau calcul stochastique ; les idées antérieures de Kac sur les intégrales de chemin, combinées à cette formule, ont donné naissance à la formule de Feynman-Kac, et le théorème de Girsanov sur le changement de mesure de 1960, dérivé par le même calcul, est devenu essentiel pour le filtrage et la finance.
Key figures
- Kiyosi Ito
- Mark Kac
- Igor Girsanov
Related topics
Seminal works
- karatzas1991
Frequently asked questions
- Pourquoi la formule d'Ito comporte-t-elle un terme supplémentaire par rapport à la règle de la chaîne ordinaire ?
- Parce que les accroissements au carré du mouvement brownien ne s'annulent pas à la limite mais s'accumulent proportionnellement au temps, un terme de Taylor du second ordre subsiste et contribue au terme caractéristique de la moitié de la dérivée seconde.
- À quoi sert la formule d'Ito en finance ?
- Son application au prix actualisé d'un produit dérivé en tant que fonction d'un processus d'Ito sous-jacent produit l'équation aux dérivées partielles de Black-Scholes, à partir de laquelle les prix des options et les stratégies de couverture sont obtenus.