L'intégrale d'Itô

L'intégrale d'Itô permet de donner un sens à l'intégration d'un processus aléatoire par rapport au mouvement brownien, une opération que le calcul différentiel classique ne peut pas traiter car les trajectoires browniennes ont une variation infinie, en exploitant leur variation quadratique finie et un choix judicieux des points d'évaluation.

Definition

L'intégrale d'Itô d'un processus prévisible par rapport au mouvement brownien est la limite, en moyenne quadratique, de sommes d'approximation qui évaluent l'intégrand à la borne gauche de chaque sous-intervalle, définie d'abord pour des intégrands simples et étendue par l'isométrie d'Itô.

Scope

Le sujet aborde la construction de l'intégrale d'Itô, d'abord pour des intégrands prévisibles simples, puis par l'isométrie d'Itô pour ceux de carré intégrable, l'extension aux martingales locales continues, la propriété de martingale de l'intégrale et sa variation quadratique, le contraste entre les conventions d'Itô et de Stratonovitch, ainsi que le rôle de la prévisibilité et du choix non-anticipatif des bornes gauches.

Core questions

• Pourquoi l'intégration par rapport au mouvement brownien nécessite-t-elle une nouvelle définition ?
• Comment l'isométrie d'Itô permet-elle la construction ?
• Pourquoi l'intégrand doit-il être évalué à la borne gauche, et que garantit la prévisibilité ?
• En quoi l'intégrale d'Itô diffère-t-elle de l'intégrale de Stratonovitch ?

Key concepts

• intégrand prévisible
• isométrie d'Itô
• variation quadratique
• propriété de martingale
• Itô versus Stratonovitch

Key theories

Isométrie et construction d'Itô

Pour les intégrands prévisibles de carré intégrable, la moyenne quadratique de l'intégrale d'Itô est égale à l'espérance de l'intégrale temporelle du carré de l'intégrand, une isométrie qui permet de définir l'intégrale pour des processus simples et de l'étendre par complétude à une large classe d'intégrands.

Propriété de martingale de l'intégrale

L'intégrale d'Itô d'un processus prévisible approprié par rapport au mouvement brownien est elle-même une martingale continue dont la variation quadratique est donnée par l'intégrale temporelle du carré de l'intégrand, ce qui fait de la convention de la borne gauche non-anticipative la plus naturelle.

Clinical relevance

L'intégrale d'Itô est l'objet mathématique représentant les gains d'une stratégie de trading continuellement rééquilibrée en finance mathématique, l'effet accumulé du bruit dans les modèles de systèmes physiques et biologiques, et le terme d'innovations dans le filtrage stochastique ; sa propriété de martingale est la base analytique de la tarification sans arbitrage.

History

Kiyosi Itô a défini l'intégrale stochastique dans les années 1940 pour donner un sens aux équations différentielles pilotées par le mouvement brownien, et Stratonovitch a introduit plus tard une convention alternative avec un comportement de règle de dérivation en chaîne usuelle ; la construction d'Itô, avec sa propriété de martingale, est devenue la norme pour la probabilité et la finance.

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

Pourquoi l'intégrand est-il évalué à la borne gauche ?

L'utilisation de la borne gauche maintient l'intégrand non-anticipatif, de sorte qu'il ne peut pas anticiper l'incrément futur du mouvement brownien ; c'est ce qui fait de l'intégrale résultante une martingale et reflète la nature causale des stratégies et des contrôles.

En quoi l'intégrale d'Itô diffère-t-elle de l'intégrale de Stratonovitch ?

L'intégrale de Stratonovitch évalue l'intégrand au point médian et obéit à la règle de dérivation en chaîne ordinaire mais n'est pas une martingale, tandis que l'intégrale d'Itô utilise la borne gauche, est une martingale et obéit à la règle de dérivation en chaîne d'Itô modifiée ; les deux diffèrent par un terme correctif impliquant la variation quadratique.