Processus de Wiener

Le processus de Wiener est le modèle mathématique rigoureux du mouvement brownien : un processus continu partant de zéro dont les accroissements sur des intervalles disjoints sont indépendants et normalement distribués avec une variance égale au temps écoulé.

Definition

Le processus de Wiener est un processus stochastique avec des trajectoires continues partant de l'origine, ayant des accroissements indépendants, et dont l'accroissement sur tout intervalle est normalement distribué avec une moyenne nulle et une variance égale à la longueur de l'intervalle, constituant le modèle canonique du mouvement brownien.

Scope

Ce sujet aborde les propriétés définissant le processus de Wiener, son existence et la construction de Wiener, la continuité mais la non-différentiabilité de ses trajectoires, sa variation quadratique égale au temps écoulé, la propriété de Markov forte et le principe de réflexion, les invariances par mise à l'échelle et inversion temporelle, et la loi du logarithme itéré décrivant ses fines fluctuations.

Core questions

• Quels axiomes définissent le processus de Wiener et garantissent son existence ?
• Pourquoi ses trajectoires sont-elles continues mais nulle part différentiables ?
• Quelle est sa variation quadratique et pourquoi est-elle égale au temps écoulé ?
• Comment le principe de réflexion et la propriété de Markov forte décrivent-ils son comportement ?

Key theories

Propriétés des trajectoires et variation quadratique

Les trajectoires du processus de Wiener sont presque sûrement continues mais nulle part différentiables et de variation totale infinie, mais leur variation quadratique sur tout intervalle est égale à la longueur de l'intervalle, propriété qui rend l'intégration stochastique possible.

Propriété de Markov forte et principe de réflexion

Le processus redémarre à neuf aux temps d'arrêt, et la réflexion de la trajectoire après qu'elle ait atteint un niveau pour la première fois donne la distribution du maximum courant et des temps de premier passage, un outil puissant pour les calculs de temps d'atteinte.

Clinical relevance

Le processus de Wiener modélise le mouvement thermique des particules microscopiques, sert de bruit moteur dans les équations différentielles stochastiques et le modèle de Black-Scholes pour les prix des actifs, apparaît comme la limite d'échelle des marches aléatoires via le principe d'invariance de Donsker, et sous-tend les modèles signal-plus-bruit en ingénierie.

History

Bachelier a modélisé les prix des actions avec ce processus en 1900 et Einstein en a donné la théorie physique en 1905, mais c'est Wiener qui, en 1923, a prouvé qu'une mesure de probabilité avec les propriétés requises existe sur l'espace des fonctions continues, après quoi Lévy et d'autres ont exploré ses remarquables propriétés de trajectoire.

Key figures

• Norbert Wiener
• Albert Einstein
• Louis Bachelier
• Paul Levy

Seminal works

• morters2010

Frequently asked questions

Le processus de Wiener est-il identique au mouvement brownien ?

Oui ; le processus de Wiener est la définition mathématiquement rigoureuse du mouvement brownien, nommé d'après Norbert Wiener qui l'a construit pour la première fois comme une mesure sur des trajectoires continues.

Comment une trajectoire peut-elle être continue mais nulle part différentiable ?

La trajectoire ne saute jamais, elle est donc continue, pourtant elle oscille si violemment à chaque échelle qu'aucune direction tangente n'existe en aucun point, c'est pourquoi sa variation totale est infinie.