鞅收敛定理

鞅收敛定理保证了在适当意义上保持有界的鞅会收敛到一个极限随机变量，为几乎必然收敛提供了一条通用的途径。

Definition

鞅收敛定理是指，L1有界的鞅几乎必然收敛，以及一致可积的鞅几乎必然收敛且在L1意义上收敛到一个随机变量，该随机变量作为条件期望闭合了鞅。

Scope

本主题涵盖了杜布（Doob）的上穿不等式和极大不等式、L1有界鞅的几乎必然收敛、一致可积鞅的均值收敛以及闭合变量的概念、Lp有界鞅收敛，以及反向鞅收敛定理及其在强大数定律中的应用。

Core questions

• 上穿不等式如何强制有界鞅收敛？
• 鞅的几乎必然收敛和均值收敛之间有什么区别？
• 一致可积性增加了什么，什么是闭合变量？
• 反向鞅如何产生强大数定律？

Key theories

杜布的上穿不等式和L1有界收敛

限制鞅穿过任何区间的预期次数表明它不能无限期地振荡，因此L1有界的鞅几乎必然收敛到一个有限极限。

一致可积性和L1收敛

一致可积的鞅在L1意义上以及几乎必然收敛，并且等于其极限的条件期望，因此它由一个单一的可积随机变量闭合，这是许多应用所需的格式。

Clinical relevance

鞅收敛是强大数定律、贝叶斯后验信念随数据积累而收敛、列维（Levy）的零一律以及分支过程种群规模的几乎必然极限等证明的基础，使其成为几乎必然渐近性的一个反复出现的引擎。

History

杜布在20世纪40年代建立了收敛定理和上穿论证，并在其1953年的专著中进行了阐述。一致可积和反向版本，连同列维的向下和向上定理，成为研究生概率课程的标准内容。

Key figures

• Joseph Doob
• Paul Levy
• David Williams

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

鞅何时收敛？

如果它在L1意义上保持有界，即其预期绝对值随时间有界，则它几乎必然收敛；一致可积性额外提供了均值收敛到一个闭合变量。

什么是上穿？

区间的上穿是指鞅从下端点下方移动到上端点上方的情况；限制这些穿过的预期次数可以证明收敛性。