离散时间鞅

离散时间鞅是按时间索引并与不断增长的信息流相关的随机变量序列，其在给定过去信息的情况下对下一个值的最佳预测始终是其当前值。

Definition

离散时间鞅是适应于σ-代数流的可积随机变量序列，其中给定早期信息，每个项的条件期望等于紧邻的前一项。

Scope

本主题涵盖了σ-代数流和适应、可预测过程，鞅、次鞅和超鞅的定义，条件期望性质及其推论，次鞅的Doob分解（分解为鞅和递增的可预测部分），表示投注策略收益的鞅变换，以及独立中心变量之和和似然比过程等标准示例。

Core questions

• σ-代数流编码了什么样的信息结构？过程适应于它意味着什么？
• 鞅、次鞅和超鞅有何不同？
• Doob分解如何将一个过程分解为公平博弈部分和趋势部分？
• 为什么任何可预测的投注策略都不能将鞅变成一个赢钱的游戏？

Key concepts

• σ-代数流
• 适应过程和可预测过程
• 次鞅和超鞅
• Doob分解
• 鞅变换

Key theories

Doob分解

任何适应的可积过程都可以唯一地分解为一个鞅加上一个从零开始的可预测过程，并且当且仅当这个可预测部分是递增的时，该过程是一个次鞅，从而将系统趋势与公平博弈的波动分离开来。

鞅变换与公平博弈的公平性

对鞅应用可预测投注策略所累积的收益形成另一个鞅，因此任何仅使用过去信息的策略都不能产生正的预期收益，这精确地说明了公平博弈无法被击败。

Clinical relevance

离散时间鞅将序列信息和公平投注形式化，为统计学中的序列似然比检验、离散金融模型中的无套利条件以及用于证明相关数据集中不等式和极限定理的鞅差序列的构建奠定了基础。

History

Ville引入鞅是为了驳斥成功赌博系统的存在，Doob通过以他名字命名的分解建立了离散时间理论，使鞅成为一种标准工具，其在Williams著作中的处理成为了典范。

Key figures

• Joseph L. Doob
• Jean Ville
• Jacques Neveu

Seminal works

• williams1991

Frequently asked questions

什么是σ-代数流？

σ-代数流是σ-代数的一个递增族，每个时间点对应一个，表示截至该时间点可用的信息；当每个值在自身时间点的信息已知时，一个过程就适应于它。

次鞅与超鞅有何区别？

次鞅的条件均值倾向于增加，因为其给定过去信息的预期下一个值至少是当前值，而超鞅则倾向于减少；鞅恰好是条件均值不变的临界情况。