伊藤の確率微分積分と確率積分

伊藤の確率微分積分は、ブラウン運動によって駆動される過程に積分と微分を拡張するものであり、通常の連鎖律を、二次変分に由来する追加項を持つ伊藤の公式に置き換える。

Definition

伊藤積分は、ブラウン運動に対する予測可能な過程の確率積分であり、伊藤の等長性によって与えられる分散を持つマルチンゲールとなるように定義される。伊藤の公式は、積分器の二次変分を反映する二階微分項を追加する、結果として得られる変数変換規則である。

Scope

このトピックでは、ブラウン運動に対する左端点リーマン和の極限としての伊藤積分の構成、伊藤の等長性、積分のマルチンゲール性、拡散過程の関数に対する伊藤の公式、多次元および積の法則、ストラトノビッチ積分との比較、および確率積分を通常の積分と区別する二次変分計算について扱う。

Core questions

• 伊藤積分はどのように構成され、なぜ左端点を使用しなければならないのか？
• 伊藤の等長性とは何か、またそれは積分の分散をどのように制御するのか？
• 伊藤の公式を通常の連鎖律と区別する追加項とは何か？
• 伊藤積分はストラトノビッチ積分とどのように異なるのか？

Key theories

伊藤積分と伊藤の等長性

左端点評価を用いて積分を定義することで、それはマルチンゲールとなり、伊藤の等長性は、積分の期待二乗値を被積分関数の二乗の期待積分値と等しいとすることで、積分にそのL2構造と安定性を与える。

伊藤の公式

拡散過程のスムーズな関数について、伊藤の公式は、通常の勾配項に加えて、二階微分と二次変分を含む補正項として微分を表現する。この規則は確率微分積分を計算可能にし、ブラック・ショールズ方程式を導出する。

Clinical relevance

伊藤の確率微分積分は、数理ファイナンスにおいて、伊藤の公式がブラック・ショールズ偏微分方程式とヘッジ戦略を導出する際に用いられるほか、システムがガウス白色雑音によって駆動されるとモデル化される確率制御、フィルタリング、物理学など、様々な分野で実用的な言語として機能する。

History

伊藤は1944年と1951年の論文で、拡散過程を構築するために確率積分と彼の変数変換公式を導入した。その後、ストラトノビッチとフィスクは通常の連鎖律に従う代替積分を提案し、マッキーン、マイヤーらの研究を通じて理論が成熟するにつれて、これら二つの定式化は調和的に統合された。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

なぜ伊藤の公式には追加項があるのか？

ブラウン運動は非ゼロの二次変分を持つため、テイラー展開の二次の項は極限で消滅せず、通常の微分積分にはない二階微分項の半分に相当する補正が加わるためである。

伊藤積分とストラトノビッチ積分の違いは何か？

伊藤積分は被積分関数を左端点で評価しマルチンゲールとなる一方、ストラトノビッチ積分は中点を使用し通常の連鎖律に従う。両者は補正項によって異なり、異なる応用分野に適している。