マルチンゲールと確率積分

連続時間マルチンゲールは、その二次変動と予測可能部分およびマルチンゲール部分への分解を伴い、確率積分が構築される積分器として機能します。

Definition

連続時間におけるマルチンゲールとは、条件付き期待増分がゼロになる過程であり、その二次変動は累積変動を測定します。ドゥーブ・マイヤー分解は劣マルチンゲールを予測可能な増加部分とマルチンゲールに分割し、これらの構造はセミマルチンゲールに対する確率積分を定義します。

Scope

このトピックでは、連続時間マルチンゲールと局所マルチンゲール、劣マルチンゲールのドゥーブ・マイヤー分解、二次変動とブラケット過程、積分器の最大の自然なクラスとしてのセミマルチンゲール、マルチンゲールに対する確率積分の構築、およびブラウン運動マルチンゲールを確率積分として表現するマルチンゲール表現定理について扱います。

Core questions

• 連続時間マルチンゲールと局所マルチンゲールは、離散的な場合をどのように一般化するのでしょうか？
• 二次変動とは何であり、なぜ確率積分において中心的な役割を果たすのでしょうか？
• ドゥーブ・マイヤー分解は、過程のマルチンゲール部分をどのように特定するのでしょうか？
• なぜセミマルチンゲールは積分器の自然なクラスであり、マルチンゲール表現は何をもたらすのでしょうか？

Key theories

ドゥーブ・マイヤー分解と二次変動

劣マルチンゲールは、局所マルチンゲールと予測可能な増加過程に一意に分解され、連続局所マルチンゲールの二次変動は、その二乗をマルチンゲールにする予測可能な過程であり、確率積分の分散尺度を提供します。

確率積分とマルチンゲール表現

二乗可積分マルチンゲールに対する予測可能な過程の確率積分は、それ自体が計算可能な二次変動を持つマルチンゲールであり、マルチンゲール表現定理は、すべてのブラウン運動マルチンゲールがそのような積分であることを示し、これは金融におけるヘッジの基礎となります。

Clinical relevance

マルチンゲールに基づく確率積分は、伊藤積分と確率微分方程式、フィルタリング理論、および数理ファイナンスにおける裁定のない価格設定とヘッジの数学的基礎であり、マルチンゲール表現定理はデリバティブ証券の複製戦略をもたらします。

History

ドゥーブはマイヤーが1962年に証明した分解を予想し、マイヤーが率いるストラスブール学派は1960年代から1970年代にかけてセミマルチンゲールと確率積分の一般理論を発展させました。また、国田と渡辺による二乗可積分マルチンゲールに関する研究は、一般的なマルチンゲール積分器に対する積分を統一しました。

Key figures

• Joseph Doob
• Paul-Andre Meyer
• Kiyosi Ito
• Hiroshi Kunita

Seminal works

• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

なぜ通常の関数ではなくマルチンゲールに対して積分するのでしょうか？

マルチンゲールの経路は通常の意味で積分するには不規則すぎますが、二次変動によって測定されるその制御された変動は、それ自体がマルチンゲールであり、確率解析の基礎となる確率積分を可能にします。

二次変動とは何ですか？

これは、より細かい分割における過程の二乗増分の合計の極限です。マルチンゲール経路の場合、一般的にゼロではなく、確率積分の自然な分散時計として機能します。