伊藤積分

伊藤積分は、ブラウン運動に対する確率過程の積分を意味のあるものにします。ブラウン経路は無限の変動を持つため、通常の微積分ではこの課題を扱うことができませんが、伊藤積分はブラウン経路の有限な二次変動と評価点の巧妙な選択を利用します。

Definition

ブラウン運動に対する予測可能な過程の伊藤積分は、各部分区間の左端点で被積分関数を評価する近似和の平均二乗収束の極限であり、まず単純な被積分関数に対して定義され、伊藤等長性によって拡張されます。

Scope

このトピックでは、まず単純な予測可能な被積分関数に対する伊藤積分の構成を扱い、次に二乗可積分な被積分関数に対する伊藤等長性による拡張、連続局所マルチンゲールへの拡張、積分のマルチンゲール性とその二次変動、伊藤規約とストラトノビッチ規約の対比、予測可能性と左端点を選択する非先読みの役割について説明します。

Core questions

• ブラウン運動に対する積分が新しい定義を必要とするのはなぜですか？
• 伊藤等長性はどのようにして構成を機能させるのですか？
• 被積分関数を左端点で評価しなければならないのはなぜですか、また予測可能性は何を保証するのですか？
• 伊藤積分はストラトノビッチ積分とどのように異なりますか？

Key concepts

• 予測可能な被積分関数
• 伊藤等長性
• 二次変動
• マルチンゲール性
• 伊藤対ストラトノビッチ

Key theories

伊藤等長性と構成

二乗可積分な予測可能な被積分関数に対して、伊藤積分の平均二乗は、被積分関数の二乗の期待時間積分に等しくなります。これは、単純な過程に対して積分を定義し、完全性によって広範な被積分関数に拡張することを可能にする等長性です。

積分のマルチンゲール性

ブラウン運動に対する適切な予測可能な過程の伊藤積分は、それ自体が連続マルチンゲールであり、その二次変動は被積分関数の二乗の時間積分によって与えられます。これが、左端点を選択する非先読み規約を自然なものにしています。

Clinical relevance

伊藤積分は、数理ファイナンスにおける連続的にリバランスされる取引戦略からの利益、物理的および生物学的システムのモデルにおけるノイズの累積効果、および確率的フィルタリングにおけるイノベーション項を表す数学的対象です。そのマルチンゲール性は、裁定のない価格設定の分析的基礎となります。

History

清伊東は、ブラウン運動によって駆動される微分方程式に意味を与えるために、1940年代に確率積分を定義しました。その後、ストラトノビッチは通常の連鎖律の挙動を持つ代替規約を導入しました。マルチンゲール性を持つ伊藤構成は、確率論と金融の標準となりました。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Ruslan Stratonovich
• Henry McKean

Seminal works

• karatzas1991

Frequently asked questions

被積分関数が左端点で評価されるのはなぜですか？

左端点を使用することで、被積分関数は非先読みとなり、ブラウン運動の将来の増分を「覗き見」することができません。これにより、結果として得られる積分がマルチンゲールとなり、戦略と制御の因果的性質を反映します。

伊藤積分はストラトノビッチ積分とどのように異なりますか？

ストラトノビッチ積分は被積分関数を中点で評価し、通常の連鎖律に従いますが、マルチンゲールではありません。一方、伊藤積分は左端点を使用し、マルチンゲールであり、修正された伊藤連鎖律に従います。両者は二次変動を含む補正項によって異なります。