確率微分方程式

確率微分方程式は、決定論的なドリフトとブラウン運動によって駆動されるランダムな変動を受けるシステムの進化を記述し、拡散過程を定義する。

Definition

確率微分方程式は、過程の微分をドリフト係数と時間増分、および拡散係数とブラウン増分の積の和として指定し、その解は関連する2階微分作用素によってその法則が支配される拡散過程である。

Scope

このトピックでは、確率微分方程式の伊藤積分方程式としての解釈、リプシッツ条件および成長条件の下での強解の存在と一意性、強解と弱解の区別、拡散の生成作用素とそのフォッカー・プランク方程式および後方コルモゴロフ方程式との関連、ファインマン・カッツの定理とギルサノフの定理、およびオイラー・丸山法やミルシュタイン法などの数値スキームについて扱う。

Core questions

• 確率微分方程式はどのように伊藤積分方程式として解釈されるか？
• 解の存在と一意性を保証する条件は何か？
• 拡散の生成作用素は偏微分方程式とどのように関連しているか？
• 解はどのように数値的に近似され、その精度はどの程度か？

Key theories

強解の存在と一意性

ドリフト係数と拡散係数のリプシッツ連続性と線形成長の下で、確率微分方程式は、伊藤の等長性を用いたピカール型反復によって確立された、連続的なマルコフ拡散である一意の強解を持つ。

ファインマン・カッツと生成作用素

拡散の無限小生成作用素は2階楕円型作用素であり、その遷移密度はフォッカー・プランク方程式を解き、ファインマン・カッツの公式は放物型偏微分方程式の解を拡散の汎関数の期待値として表現する。

Clinical relevance

確率微分方程式は、金融における資産価格、金利、ボラティリティ、物理、化学、生物学的システムのノイズのあるダイナミクス、および環境のランダム性を持つ個体群および疫学モデルをモデル化し、オイラー・丸山法および関連するスキームによるその数値解は、モンテカルロ価格設定とシミュレーションを可能にする。

History

伊藤は1940年代に、生成作用素が所定の楕円型作用素である拡散過程を構築するために確率微分方程式を導入し、ストロークとバラダンは1960年代から1970年代にかけてマルチンゲール問題を通じてこの主題を再構築し、これらの方程式の数値解析は1990年代にクレーデンとプラテンによって体系化された。

Key figures

• Kiyosi Ito
• Bernt Oksendal
• Daniel Stroock
• Srinivasa Varadhan

Seminal works

• oksendal2003

Frequently asked questions

確率微分方程式は何を記述するか？

それは、予測可能なドリフトとブラウン運動からのランダムな衝撃の下で動く過程を記述し、関連する偏微分方程式に従って確率分布が進化する拡散を生成する。

強解と弱解の違いは何か？

強解は与えられたブラウン運動とフィルターに基づいて構築されるが、弱解は所定の法則を持つ何らかのブラウン運動と過程の存在のみを必要とする。強解が存在しない場合でも弱解は存在しうる。