ブラウン運動と確率解析

ブラウン運動は、その増分が独立かつガウス分布に従う連続的な確率過程であり、それに基づいて構築された確率解析は、その不規則な経路に沿った積分および微分の規則を提供する。

Definition

ブラウン運動は、独立した定常ガウス増分と、連続的で至るところ微分不可能な経路を持つ連続時間過程であり、確率解析は、伊藤積分と伊藤の変数変換公式を中心とした、そのような過程に関する積分と微分の理論である。

Scope

この分野は、ウィーナー過程とその経路特性、伊藤確率積分と伊藤の公式、確率微分方程式と拡散過程、ファインマン-カッツの公式とフォッカー-プランク方程式を介した偏微分方程式との関連、ギルサノフの測度変換、およびジャンプを伴うレヴィ過程への拡張を網羅する。

Sub-topics

• 伊藤の確率微分積分と確率積分
• レヴィ過程
• 確率微分方程式
• ウィーナー過程

Core questions

• ブラウン運動を特徴づける特性は何であり、その経路をこれほど不規則にしているのか？
• 無限の変動にもかかわらず、ブラウン運動に対する積分はどのように定義されるのか？
• 伊藤の公式とは何であり、通常の連鎖律をどのように置き換えるのか？
• 確率微分方程式とレヴィ過程は、この枠組みをどのように拡張するのか？

Key theories

伊藤積分と伊藤の公式

伊藤積分は、マルチンゲール特性と経過時間に等しい二次変分を利用してブラウン運動に対する積分を定義し、伊藤の公式は、その変分を反映した追加の二階微分項を持つ変数変換規則を与える。

拡散と偏微分方程式との関連

確率微分方程式の解はマルコフ拡散であり、その遷移密度はフォッカー-プランク方程式と後方コルモゴロフ方程式を解き、ファインマン-カッツの公式は放物型方程式の解を拡散経路上の期待値として表現する。

Clinical relevance

ブラウン運動と確率解析は、粒子の拡散や熱の伝導、オプション価格のブラック-ショールズ理論における資産価格のランダムな変動、物理システムや工学システムにおけるノイズ、ノイズの多い信号のフィルタリングなどをモデル化するため、物理学、金融、制御の分野で不可欠である。

History

ブラウンは1827年に花粉粒の不規則な運動を観察し、アインシュタインとスモルコフスキーは1905年頃にその物理理論を提示した。バシュリエはすでに1900年に金融に応用しており、ウィーナーは1923年にそれを厳密に構築し、伊藤は1940年代に確率解析を創始してそれを計算ツールへと変貌させた。

Key figures

• Robert Brown
• Albert Einstein
• Norbert Wiener
• Kiyosi Ito

Seminal works

• oksendal2003
• karatzasShreve1991

Frequently asked questions

なぜ通常の微積分はブラウン運動に適用できないのか？

ブラウン運動の経路は無限の全変動を持ち、至るところ微分不可能であるため、通常の積分と古典的な連鎖律は破綻する。伊藤の確率解析は、二次変分を考慮した代替手段を提供する。

伊藤の公式とは何か？

これは、ブラウン運動または拡散の関数に対する連鎖律の確率的アナログであり、経路の非ゼロの二次変分に起因する二階微分を含む追加の項が含まれる。