अभिसरण के तरीके

यादृच्छिक चरों के अनुक्रम कई असमान अर्थों में अभिसरण कर सकते हैं, लगभग निश्चित रूप से, प्रायिकता में, p-वें क्रम के माध्य में, और वितरण में, और उनके पदानुक्रम को समझना प्रत्येक सीमा प्रमेय को सटीक रूप से बताने और सिद्ध करने के लिए आवश्यक है।

Definition

अभिसरण के तरीके वे विशिष्ट अर्थ हैं जिनमें यादृच्छिक चरों का एक अनुक्रम या उनके वितरण एक सीमा तक पहुँच सकते हैं, जो चरों के मजबूत लगभग-निश्चित और माध्य अभिसरण से लेकर उनके वितरणों के दुर्बल अभिसरण तक होते हैं।

Scope

इस विषय में लगभग-निश्चित अभिसरण, प्रायिकता में अभिसरण, p-वें माध्य में अभिसरण, और वितरण में अभिसरण, उनसे संबंधित निहितार्थ और प्रतिउदाहरण, प्रायिकता में अभिसरण और माध्य में अभिसरण के बीच सेतु के रूप में एकसमान समाकलनीयता (uniform integrability), दुर्बल अभिसरण का पोर्टमैंटो लक्षण वर्णन, और मापों के सापेक्ष सघनता के लिए प्रोखोरोव के प्रमेय के साथ कसाव (tightness) शामिल हैं।

Core questions

• यादृच्छिक चर किन मुख्य अर्थों में अभिसरण करते हैं, और वे कैसे भिन्न हैं?
• अभिसरण के कौन से तरीके दूसरों को इंगित करते हैं, और निहितार्थ कहाँ विफल होते हैं?
• कौन सी अतिरिक्त शर्त प्रायिकता में अभिसरण को माध्य में अभिसरण में उन्नत करती है?
• वितरणों के एक परिवार में अभिसारी उप-अनुक्रम कब होता है?

Key concepts

• लगभग-निश्चित अभिसरण
• प्रायिकता में अभिसरण
• माध्य में अभिसरण
• दुर्बल अभिसरण
• कसाव (tightness) और प्रोखोरोव का प्रमेय

Key theories

अभिसरण विधियों का पदानुक्रम

लगभग-निश्चित अभिसरण और p-वें माध्य में अभिसरण प्रत्येक प्रायिकता में अभिसरण को इंगित करते हैं, जो बदले में वितरण में अभिसरण को इंगित करता है, जबकि विपरीत निहितार्थ सामान्यतः विफल होते हैं, इसलिए ये विधियाँ मानक प्रतिउदाहरणों के साथ एक सख्त पदानुक्रम बनाती हैं।

पोर्टमैंटो प्रमेय

प्रायिकता मापों का दुर्बल अभिसरण एक साथ कई शर्तों के बराबर है, जिसमें परिबद्ध सतत फलनों की अपेक्षाओं का अभिसरण और प्रत्येक सातत्य बिंदु पर वितरण फलन का अभिसरण शामिल है, जो वितरण में अभिसरण को सिद्ध करने के लिए लचीले मानदंड प्रदान करता है।

प्रोखोरोव का प्रमेय और कसाव (tightness)

प्रायिकता मापों का एक परिवार दुर्बल अभिसरण के लिए सापेक्षतः सघन होता है यदि और केवल यदि वह कसा हुआ (tight) हो, जिसका अर्थ है कि द्रव्यमान अनंत तक नहीं फैलता है, जो सीमा प्रमेयों और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के अध्ययन में अभिसारी उप-अनुक्रमों को निकालने के लिए मानक उपकरण है।

Clinical relevance

अभिसरण के सटीक तरीके सांख्यिकी में संगति और स्पर्शोन्मुख वितरण के कठोर कथनों, सिमुलेशन और सन्निकटन योजनाओं के अभिसरण, और कार्यात्मक सीमा प्रमेयों, जैसे डॉन्सकर के अपरिवर्तनीयता सिद्धांत (Donsker's invariance principle), को रेखांकित करते हैं, जो जटिल स्टोकेस्टिक प्रणालियों को ब्राउनियन गति द्वारा अनुमानित करने को न्यायोचित ठहराते हैं।

History

अभिसरण के तरीकों के बीच सावधानीपूर्वक अंतर प्रायिकता के माप-सैद्धांतिक आधारों के साथ उभरा, और मीट्रिक स्थानों पर मापों के दुर्बल अभिसरण का सिद्धांत, कसाव (tightness) और प्रोखोरोव के सघनता मानदंड के साथ, बीसवीं सदी के मध्य में प्रोखोरोव और बिलिंग्सले द्वारा स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के लिए सीमा प्रमेयों का समर्थन करने के लिए व्यवस्थित किया गया था।

Key figures

• Patrick Billingsley
• Yuri Prohorov
• Aleksandr Khinchin

Seminal works

• billingsley1999convergence

Frequently asked questions

इतने सारे प्रकार के अभिसरणों में अंतर क्यों करें?

विभिन्न सीमा प्रमेय स्वाभाविक रूप से विभिन्न तरीकों को उत्पन्न करते हैं; बड़ी संख्याओं का नियम लगभग-निश्चित अभिसरण देता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय वितरण में अभिसरण देता है, और चरों के औसत के बारे में निष्कर्षों के लिए माध्य में अभिसरण की आवश्यकता होती है, इसलिए सटीक तरीका मायने रखता है कि क्या निष्कर्ष निकाला जा सकता है।

कसाव (tightness) क्या है?

वितरणों का एक परिवार कसा हुआ (tight) होता है यदि, किसी भी आवश्यक स्तर के लिए, एक एकल सघन समुच्चय परिवार के प्रत्येक सदस्य के लिए कम से कम उतनी प्रायिकता रखता है; कसाव (tightness) प्रायिकता द्रव्यमान को अनंत तक रिसने से रोकता है और प्रोखोरोव के प्रमेय को दुर्बल सघनता के लिए आवश्यक शर्त है।