सीमा प्रमेय
सीमा प्रमेय यह वर्णन करते हैं कि कई यादृच्छिक चरों के योग और औसत के साथ क्या होता है: वे बड़ी संख्याओं के नियमों द्वारा अपने माध्य के आसपास स्थिर हो जाते हैं, केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार एक सूक्ष्म पैमाने पर उतार-चढ़ाव करते हैं, और केवल घातीय रूप से छोटी संभावना के साथ बड़ी मात्रा में विचलित होते हैं।
Definition
सीमा प्रमेय उन परिणामों का समूह है जो यादृच्छिक चरों के अनुक्रमों और उनके वितरणों के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का वर्णन करते हैं, मुख्य रूप से अपेक्षाओं के लिए औसतों का अभिसरण, सामान्यीकृत योगों के गाऊसी उतार-चढ़ाव, और बड़े-विचलन संभावनाओं का घातीय क्षय।
Scope
यह क्षेत्र बड़ी संख्याओं के कमजोर और मजबूत नियमों, उनके अभिलाक्षणिक-फलन प्रमाणों के साथ शास्त्रीय और लिंडबर्ग-फेलर केंद्रीय सीमा प्रमेयों, यादृच्छिक चरों और वितरणों के लिए अभिसरण मोड के पदानुक्रम, कसाव के साथ प्रायिकता मापों के कमजोर अभिसरण, और घातीय रूप से दुर्लभ घटनाओं को नियंत्रित करने वाले बड़े विचलन के सिद्धांत को शामिल करता है।
Sub-topics
Core questions
- किन अर्थों में कई यादृच्छिक चरों का औसत अपने माध्य में अभिसरण करता है?
- व्यापक परिस्थितियों में एक सामान्यीकृत योग के उतार-चढ़ाव लगभग गाऊसी क्यों होते हैं?
- यादृच्छिक चरों और वितरणों के लिए अभिसरण के विभिन्न तरीके कैसे संबंधित हैं?
- विशिष्ट व्यवहार से बड़े विचलन कितने दुर्लभ हैं, और वे किस दर से क्षय होते हैं?
Key theories
- बड़ी संख्याओं के नियम
- परिमित माध्य वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित चरों के औसत उस माध्य में अभिसरण करते हैं, कमजोर नियम के लिए प्रायिकता में और मजबूत नियम के लिए लगभग निश्चित रूप से, जो नमूना औसतों द्वारा अपेक्षाओं का अनुमान लगाने के लिए गणितीय औचित्य है।
- केंद्रीय सीमा प्रमेय
- परिमित प्रसरण वाले स्वतंत्र चरों के योग, उपयुक्त रूप से केंद्रित और स्केल किए गए, वितरण में एक सामान्य नियम में अभिसरण करते हैं, जो गाऊसी की सर्वव्यापकता की व्याख्या करता है और विश्वास अंतरालों और महत्व परीक्षणों के लिए आधार प्रदान करता है।
Clinical relevance
सीमा प्रमेय सांख्यिकीय अभ्यास और सिमुलेशन के पीछे सैद्धांतिक गारंटी हैं: बड़ी संख्याओं का नियम मोंटे कार्लो अनुमान और प्रायिकता की आवृत्तिवादी व्याख्या को मान्य करता है, केंद्रीय सीमा प्रमेय सामान्य-आधारित अनुमान और कई अनुमानित तरीकों को उचित ठहराता है, और बड़े-विचलन दरें बीमा, संचार और विश्वसनीयता में दुर्लभ-घटना जोखिम को निर्धारित करती हैं।
History
पहला सीमा प्रमेय बर्नौली का बड़ी संख्याओं का नियम था; डी मोइव्रे और लाप्लास ने द्विपद के सामान्य सन्निकटन को पाया, जिसे ल्यापुनोव और लिंडबर्ग ने केंद्रीय सीमा प्रमेय में सामान्यीकृत किया। कोलमोगोरोव ने मजबूत नियम को तेज किया, क्रैमर ने बड़े-विचलन सिद्धांत की स्थापना की, और आधुनिक माप-सैद्धांतिक उपचार उन्हें एकीकृत करता है।
Key figures
- Jacob Bernoulli
- Aleksandr Lyapunov
- Paul Levy
- Harald Cramer
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
- billingsley1999convergence
Frequently asked questions
- बड़ी संख्याओं के नियम और केंद्रीय सीमा प्रमेय के बीच क्या अंतर है?
- बड़ी संख्याओं का नियम कहता है कि औसत माध्य में अभिसरण करता है, जो प्रथम-क्रम व्यवहार का वर्णन करता है, जबकि केंद्रीय सीमा प्रमेय माध्य के आसपास औसत के द्वितीय-क्रम उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है, जो नमूना आकार के वर्गमूल के एक से अधिक के पैमाने पर गाऊसी होते हैं।
- क्या केंद्रीय सीमा प्रमेय हमेशा लागू होता है?
- इसके लिए परिमित प्रसरण और लिंडबर्ग जैसी नगण्यता की स्थिति जैसी शर्तों की आवश्यकता होती है; अनंत प्रसरण वाले भारी-पूंछ वाले चरों के लिए सीमा इसके बजाय एक गैर-गाऊसी स्थिर वितरण हो सकती है।