बड़ी संख्याओं के नियम
बड़ी संख्याओं के नियम बताते हैं कि एक यादृच्छिक मात्रा के कई स्वतंत्र प्रेक्षणों का औसत उसके अपेक्षित मान में परिवर्तित होता है, जो इस अंतर्ज्ञान को गणितीय सामग्री देता है कि दीर्घकालिक आवृत्तियाँ स्थिर होती हैं।
Definition
बड़ी संख्याओं के नियम यह दावा करते हैं कि परिमित माध्य वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का नमूना औसत उस माध्य में परिवर्तित होता है, कमजोर नियम के लिए प्रायिकता में और मजबूत नियम के लिए लगभग निश्चित रूप से।
Scope
यह विषय चेबीशेव की असमानता और ट्रंकेशन (truncation) द्वारा सिद्ध की गई बड़ी संख्याओं के कमजोर नियम, केवल एक परिमित माध्य के तहत खिनचिन के कमजोर नियम, कोलमोगोरोव के अधिकतम असमानता और तीन-श्रृंखला प्रमेय के साथ बड़ी संख्याओं के मजबूत नियम, प्रायिकता में अभिसरण और लगभग-निश्चित अभिसरण के बीच अंतर, और परिमित माध्य के बिना चर के लिए नियमों की विफलता को शामिल करता है।
Core questions
- नमूना बढ़ने पर नमूना औसत किस सटीक अर्थ में वास्तविक माध्य के करीब आता है?
- कमजोर और मजबूत नियमों में क्या अंतर है, और प्रत्येक को किन परिकल्पनाओं की आवश्यकता है?
- कौन सी असमानताएँ और अपघटन मजबूत नियम को सिद्ध करने योग्य बनाते हैं?
- जब अंतर्निहित वितरण का कोई परिमित माध्य नहीं होता है तो क्या होता है?
Key concepts
- प्रायिकता में अभिसरण
- लगभग-निश्चित अभिसरण
- चेबीशेव असमानता
- ट्रंकेशन विधि
- कोलमोगोरोव तीन-श्रृंखला प्रमेय
Key theories
- बड़ी संख्याओं का कमजोर नियम
- परिमित माध्य वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित चर के लिए नमूना औसत प्रायिकता में माध्य में परिवर्तित होता है, यह परिणाम चेबीशेव की असमानता से प्राप्त किया जा सकता है जब भिन्नता परिमित होती है और खिनचिन की कमजोर परिकल्पना के तहत ट्रंकेशन तर्कों से भी।
- कोलमोगोरोव का बड़ी संख्याओं का मजबूत नियम
- स्वतंत्र समान रूप से वितरित चर के लिए एक परिमित माध्य नमूना औसत के लगभग निश्चित रूप से माध्य में परिवर्तित होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है, यह नियम का निश्चित रूप है और प्रायिकता की आवृत्ति व्याख्या का आधार है।
Clinical relevance
मजबूत नियम वह है जो नमूना माध्य द्वारा एक अपेक्षा का अनुमान लगाने की अनुमति देता है और मोंटे कार्लो एकीकरण, सांख्यिकी में अनुमानकों की संगति, और प्रायिकता की आवृत्तिवादी व्याख्या को दीर्घकालिक सापेक्ष आवृत्ति के रूप में रेखांकित करता है; भारी-पूंछ वाले डेटा के लिए इसकी विफलता अनंत माध्य वाली मात्राओं जैसे कि कुछ बीमा हानियों का औसत निकालने के खिलाफ चेतावनी देती है।
History
बर्नौली ने 1713 में द्विपद अनुपातों के लिए बड़ी संख्याओं का पहला नियम सिद्ध किया। चेबीशेव ने एक सरल भिन्नता-आधारित प्रमाण दिया, खिनचिन ने परिकल्पनाओं को एक परिमित माध्य तक कमजोर कर दिया, और कोलमोगोरोव ने अधिकतम असमानता और तीन-श्रृंखला प्रमेय के साथ निश्चित लगभग-निश्चित मजबूत नियम स्थापित किया जो इसे सिद्ध करते हैं।
Key figures
- Jacob Bernoulli
- Pafnuty Chebyshev
- Aleksandr Khinchin
- Andrey Kolmogorov
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- बड़ी संख्याओं के कमजोर और मजबूत नियमों में क्या अंतर है?
- कमजोर नियम कहता है कि किसी भी बड़े निश्चित नमूना आकार के लिए औसत माध्य के करीब होने की संभावना है, जबकि मजबूत नियम कहता है कि प्रायिकता एक के साथ औसत की पूरी श्रृंखला माध्य में परिवर्तित होती है; मजबूत नियम अधिक निश्चित कथन है।
- क्या बड़ी संख्याओं का नियम विफल हो सकता है?
- हाँ; यदि अंतर्निहित वितरण का कोई परिमित माध्य नहीं है, जैसे कि कॉची वितरण, तो नमूना औसत बिल्कुल भी एक स्थिरांक में परिवर्तित नहीं होता है, और इसका सामान्य रूप में नियम लागू नहीं होता है।