यादृच्छिक चर और वितरण

एक यादृच्छिक चर एक प्रायिकता समष्टि पर एक मापने योग्य फलन होता है, और इसका वितरण, वास्तविक रेखा पर यह जो पुशफॉरवर्ड माप उत्पन्न करता है, वही है जो प्रयोग और डेटा वास्तव में रिपोर्ट करते हैं; यह क्षेत्र वितरणों और उन्हें वर्णित करने वाले विश्लेषणात्मक उपकरणों का अध्ययन करता है।

Definition

एक यादृच्छिक चर एक प्रायिकता समष्टि से वास्तविक संख्याओं तक एक मापने योग्य फलन होता है, और इसका वितरण वास्तविक रेखा पर यह जो प्रायिकता माप उत्पन्न करता है, वह है, जिसे वितरण फलन द्वारा संक्षेपित किया जाता है और घनत्वों, आघूर्णों और अभिलक्षणिक फलनों के माध्यम से अध्ययन किया जाता है।

Scope

यह क्षेत्र यादृच्छिक चरों और यादृच्छिक सदिशों, वितरण और घनत्व फलनों, एक वितरण के फूरियर रूपांतरण के रूप में अभिलक्षणिक फलन और इसके व्युत्क्रमण और अद्वितीयता, मानक असतत और सतत वितरण परिवारों, और चरों के रूपांतरण के साथ-साथ आघूर्णों, जनक फलनों और उनके बीच के संबंधों को शामिल करता है।

Sub-topics

• अभिलाक्षणिक फलन
• सामान्य प्रायिकता बंटन
• यादृच्छिक चर और वितरण फलन
• रूपांतरण और आघूर्ण

Core questions

• यादृच्छिक चर का वितरण अंतर्निहित प्रतिदर्श समष्टि से स्वतंत्र रूप से कैसे परिभाषित किया जाता है?
• कौन से विश्लेषणात्मक रूपांतरण एक वितरण को विशिष्ट रूप से एन्कोड करते हैं और स्वतंत्र चरों के योगों को सरल बनाते हैं?
• कौन से मानक वितरण परिवार बार-बार उत्पन्न होते हैं और क्यों?
• यादृच्छिक चर के फलनों के तहत एक वितरण कैसे रूपांतरित होता है, और इसके आघूर्ण क्या प्रकट करते हैं?

Key theories

पुशफॉरवर्ड माप के रूप में वितरण

एक यादृच्छिक चर का वितरण, या नियम, चर के तहत प्रायिकता माप की छवि है, इसलिए चर के बारे में सभी प्रायिकता कथन केवल इस नियम पर निर्भर करते हैं न कि इसे ले जाने वाले विशेष प्रायिकता समष्टि पर।

अभिलक्षणिक फलन की अद्वितीयता और व्युत्क्रमण

अभिलक्षणिक फलन एक वितरण का फूरियर रूपांतरण है; यह वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करता है, इसे पुनः प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रमित किया जा सकता है, और स्वतंत्र चरों के कनवोल्यूशन को गुणन में बदल देता है, जो इसे सीमा प्रमेयों के लिए केंद्रीय विश्लेषणात्मक उपकरण बनाता है।

Clinical relevance

वितरण वह भाषा है जिसमें सांख्यिकीय मॉडल, अनुकरण और जोखिम व्यक्त किए जाते हैं: एक वितरण परिवार का चयन और फिटिंग अनुमान और परिकल्पना परीक्षण का आधार है, अभिलक्षणिक और जनक फलन सीमा प्रमेयों के प्रमाणों को संचालित करते हैं, और मोंटे कार्लो नमूनाकरण और अनिश्चितता के प्रसार में चरों का रूपांतरण नियमित होता है।

History

डी मोइव्रे, लाप्लास, गॉस और पॉइसन द्वारा अमूर्त सिद्धांत से बहुत पहले द्विपद, सामान्य और पॉइसन जैसे विशिष्ट वितरणों का अध्ययन किया गया था। एक यादृच्छिक चर के रूप में एक मापने योग्य फलन के रूप में एक एकीकृत दृष्टिकोण जिसमें एक प्रेरित नियम होता है, और लेवी के कारण अभिलक्षणिक फलनों का व्यवस्थित उपयोग, बीसवीं सदी के माप-सैद्धांतिक संश्लेषण से संबंधित है।

Key figures

• William Feller
• Paul Levy
• Pierre-Simon Laplace
• Carl Friedrich Gauss

Seminal works

• feller1971
• billingsley1995

Frequently asked questions

एक यादृच्छिक चर और उसके वितरण में क्या अंतर है?

यादृच्छिक चर एक प्रतिदर्श समष्टि पर एक फलन है, जबकि इसका वितरण वास्तविक रेखा पर यह जो प्रायिकता माप उत्पन्न करता है, वह है; दो बहुत भिन्न यादृच्छिक चर एक ही वितरण साझा कर सकते हैं, और केवल वितरण ही चर के माध्यम से अकेले परिभाषित घटनाओं की प्रायिकताओं के लिए मायने रखता है।

अभिलक्षणिक फलनों का इतना अधिक उपयोग क्यों किया जाता है?

वे हमेशा मौजूद होते हैं, वितरण को विशिष्ट रूप से निर्धारित करते हैं, स्वतंत्र चरों के योगों को गुणनफल में परिवर्तित करते हैं, और उनमें निरंतरता गुण होते हैं जो उन्हें वितरण में अभिसरण और केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए प्राकृतिक माध्यम बनाते हैं।