प्रत्याशा और समाकलन
प्रत्याशा प्रायिकता माप के विरुद्ध एक यादृच्छिक चर का लेबेग समाकलन है, एक एकल अवधारणा जो असतत चरों के लिए योग और सतत चरों के लिए समाकलन को एकीकृत करती है और माप सिद्धांत से शक्तिशाली अभिसरण प्रमेयों को प्राप्त करती है।
Definition
एक यादृच्छिक चर की प्रत्याशा प्रायिकता माप के विरुद्ध उसका समाकलन है, जिसे पहले गैर-ऋणात्मक चरों के लिए सरल सन्निकटन पर एक सर्वोच्च के रूप में बनाया गया था और फिर समाकलनीय चरों तक धनात्मक और ऋणात्मक भागों के अंतर के रूप में विस्तारित किया गया था।
Scope
यह विषय सरल, गैर-ऋणात्मक और समाकलनीय यादृच्छिक चरों के लिए प्रत्याशा के निर्माण, एकदिष्ट और प्रबलित अभिसरण प्रमेयों और फाटू के लेम्मा, प्रत्याशा को वितरण के विरुद्ध समाकलन से संबंधित चर-परिवर्तन सूत्र, आघूर्ण और Lp स्पेस, और जेन्सेन, होल्डर, मार्कोव और चेबीशेव असमानताओं को शामिल करता है।
Core questions
- किसी मनमाने यादृच्छिक चर के लिए प्रत्याशा को कैसे परिभाषित किया जाता है, न कि केवल असतत या सतत चरों के लिए?
- किन परिस्थितियों में एक सीमा को प्रत्याशा के अंदर ले जाया जा सकता है?
- आघूर्ण और Lp स्पेस एक यादृच्छिक चर के आकार को कैसे निर्धारित करते हैं?
- कौन सी असमानताएं आघूर्णों के संदर्भ में प्रायिकताओं और प्रत्याशाओं को सीमित करती हैं?
Key concepts
- लेबेग समाकलन के रूप में प्रत्याशा
- एकदिष्ट और प्रबलित अभिसरण
- फाटू का लेम्मा
- आघूर्ण और प्रसरण
- यादृच्छिक चरों के Lp स्पेस
Key theories
- एकदिष्ट और प्रबलित अभिसरण प्रमेय
- बढ़ते हुए गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चरों के लिए सीमा की प्रत्याशा प्रत्याशाओं की सीमा के बराबर होती है, और एक समाकलनीय चर द्वारा प्रबलित अनुक्रमों के लिए वही विनिमय होता है, जो सीमा प्रमेय प्रदान करता है जिनकी प्रारंभिक सिद्धांत में कमी होती है।
- जेन्सेन की असमानता
- एक उत्तल फलन के लिए एक यादृच्छिक चर के फलन की प्रत्याशा उसकी प्रत्याशा के फलन से कम नहीं होती है, जो आघूर्ण तुलना, सशर्त प्रत्याशा के संकुचन गुण और प्रायिकता में कई सीमाओं को उत्पन्न करती है।
- मार्कोव और चेबीशेव असमानताएं
- एक गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के एक स्तर से अधिक होने की प्रायिकता उस स्तर से विभाजित उसके माध्य द्वारा सीमित होती है, और वर्ग विचलन पर लागू होने पर यह प्रसरण के संदर्भ में फैलाव को नियंत्रित करती है, जिससे बड़ी संख्याओं के कमजोर नियम का प्रारंभिक मार्ग मिलता है।
Clinical relevance
प्रत्याशा और इसकी असमानताओं का उपयोग हर जगह किया जाता है जहाँ अनिश्चितता के तहत मात्राओं का औसत निकाला जाता है: वे सांख्यिकी और वित्त में माध्य, प्रसरण और जोखिम उपायों को परिभाषित करते हैं, अधिगम सिद्धांत और यादृच्छिक एल्गोरिदम के पीछे एकाग्रता सीमाएं प्रदान करते हैं, और मोंटे कार्लो अनुमान को सही ठहराने वाले अभिसरण प्रमेय प्रदान करते हैं।
History
एक बार जब लेबेग का समाकलन उपलब्ध हो गया, तो संभाव्यताविदों ने प्रत्याशा को प्रायिकता माप के विरुद्ध समाकलन के साथ पहचाना, एक पहचान जिसे कोलमोगोरोव के ढांचे में स्पष्ट किया गया और इसके अभिसरण प्रमेयों और शास्त्रीय असमानताओं के साथ मानक स्नातक ग्रंथों में विकसित किया गया।
Key figures
- Henri Lebesgue
- Johan Jensen
- Pafnuty Chebyshev
- Andrey Markov
Related topics
Seminal works
- billingsley1995
Frequently asked questions
- क्या प्रत्याशा परिणामों के औसत के समान है?
- भावना में हाँ: यह प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता द्वारा भारित यादृच्छिक चर का समाकलन है, जो असतत चरों के लिए एक भारित योग और सतत चरों के लिए एक घनत्व के विरुद्ध एक सामान्य समाकलन में कम हो जाता है।
- मैं कब एक सीमा और एक प्रत्याशा को बदल सकता हूँ?
- एकदिष्ट अभिसरण प्रमेय इसे बढ़ते हुए गैर-ऋणात्मक अनुक्रमों के लिए अनुमति देता है और प्रबलित अभिसरण प्रमेय इसे तब अनुमति देता है जब अनुक्रम एक निश्चित समाकलनीय चर द्वारा सीमित होता है; ऐसी शर्तों के बिना विनिमय विफल हो सकता है।