केंद्रीय सीमा प्रमेय

केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि कई स्वतंत्र यादृच्छिक चरों का योग, एक बार केंद्रित और पुनर्वर्धित होने पर, व्यक्तिगत चरों के आकार की परवाह किए बिना लगभग सामान्य वितरण होता है, यही कारण है कि घंटी वक्र विज्ञान में हर जगह दिखाई देता है।

Definition

केंद्रीय सीमा प्रमेय कहता है कि परिमित माध्य और प्रसरण वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित यादृच्छिक चरों के लिए, मानकीकृत योग पदों की संख्या बढ़ने पर वितरण में मानक सामान्य नियम में अभिसरण करता है।

Scope

यह विषय परिमित प्रसरण वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित चरों के लिए शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय, स्वतंत्र चरों की त्रिकोणीय सरणियों के लिए लिंडबर्ग और ल्यापुनोव की शर्तें, प्रमाण की विशेषता-फलन विधि, अभिसरण की दर पर बेरी-एसीन सीमा, और जब प्रसरण अनंत हो तो गैर-गाऊसी स्थिर सीमाओं तक विस्तार को शामिल करता है।

Core questions

• मानकीकृत योगों की सार्वभौमिक सीमा सामान्य वितरण क्यों है?
• जब योग समान रूप से वितरित नहीं होते हैं तो लिंडबर्ग जैसी कौन सी शर्तें आवश्यक होती हैं?
• एक सामान्यीकृत योग का वितरण सामान्य नियम के कितने करीब पहुंचता है?
• जब प्रसरण अनंत होता है तो सामान्य सीमा का स्थान क्या लेता है?

Key concepts

• वितरण में अभिसरण
• लिंडबर्ग शर्त
• ल्यापुनोव शर्त
• बेरी-एसीन दर
• स्थिर सीमाएँ

Key theories

शास्त्रीय केंद्रीय सीमा प्रमेय

परिमित प्रसरण वाले स्वतंत्र समान रूप से वितरित चरों के लिए, योग, उसके माध्य को घटाकर और पदों की संख्या के वर्गमूल को मानक विचलन से गुणा करके विभाजित करने पर, वितरण में मानक सामान्य में अभिसरण करता है, जिसे विशेषता फलनों द्वारा स्पष्ट रूप से सिद्ध किया गया है।

लिंडबर्ग-फेलर प्रमेय

स्वतंत्र चरों की त्रिकोणीय सरणियों के लिए लिंडबर्ग की शर्त, कि कोई भी एकल पद प्रसरण में एक नगण्य हिस्सा योगदान नहीं करता है, स्पर्शोन्मुखी सामान्यता के लिए पर्याप्त और अनिवार्य रूप से आवश्यक है, जिससे प्रमेय को इसका सबसे सामान्य शास्त्रीय रूप मिलता है।

बेरी-एसीन सीमा

जब एक परिमित तीसरा क्षण मौजूद होता है, तो एक मानकीकृत योग के वितरण के सामान्य सन्निकटन की अधिकतम त्रुटि एक स्थिरांक से बंधी होती है जो तीसरे निरपेक्ष क्षण को प्रसरण की तीन-आधे घात और नमूना आकार के वर्गमूल से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।

Clinical relevance

केंद्रीय सीमा प्रमेय सांख्यिकीय अनुमान का आधारशिला है: यह विश्वास अंतरालों, z-परीक्षणों और t-परीक्षणों के पीछे सामान्य सन्निकटन को उचित ठहराता है, और अनुमानकों के स्पर्शोन्मुखी वितरण को भी, और यह बताता है कि विज्ञान में माप त्रुटियां और एकत्रित मात्राएं इतनी बार लगभग गाऊसी क्यों होती हैं।

History

डी मोइवर और लाप्लास ने अठारहवीं शताब्दी में द्विपद के लिए सामान्य सन्निकटन पाया। ल्यापुनोव ने क्षणों का उपयोग करके पहला कठोर सामान्य प्रमाण दिया, लिंडबर्ग ने निश्चित शर्त प्रदान की, और फेलर ने दिखाया कि यह अनिवार्य रूप से आवश्यक था, जबकि बेरी और एसीन ने अभिसरण की दर को निर्धारित किया।

Key figures

• Abraham de Moivre
• Pierre-Simon Laplace
• Aleksandr Lyapunov
• Jarl Waldemar Lindeberg

Seminal works

• billingsley1995

Frequently asked questions

क्या केंद्रीय सीमा प्रमेय के लिए योगों को सामान्य रूप से वितरित होने की आवश्यकता है?

नहीं; उल्लेखनीय बात यह है कि व्यक्तिगत चरों का परिमित प्रसरण के साथ लगभग कोई भी वितरण हो सकता है, और उनके मानकीकृत योग पदों की संख्या बढ़ने पर भी सामान्य नियम की ओर प्रवृत्त होते हैं।

सामान्य सन्निकटन के लिए नमूना कितना बड़ा होना चाहिए?

इसका कोई सार्वभौमिक उत्तर नहीं है; बेरी-एसीन सीमा दर्शाती है कि त्रुटि तीसरे क्षण पर निर्भर करती है और नमूना आकार के वर्गमूल के एक बटे के रूप में घटती है, इसलिए तिरछे या भारी-पूंछ वाले योगों के लिए एक अच्छे सन्निकटन के लिए बड़े नमूनों की आवश्यकता होती है।